Question

如图，矩形ABCD中，AC、BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，且∠CDF=60°，CF=

3

cm．
（1）求证：四边形BCFE是等腰梯形；
（2）求这个梯形的周长．

Answer 1

考点：等腰梯形的判定,矩形的性质

专题：

分析：（1）运用△BOE≌△COF得出BE=CF及∠OEF=∠OFE=∠OCB=∠OBC，从而求出EF∥BC，得出四边形BCFE是等腰梯形．
（2）先得了△OCD是等边三角形，得出EF是中位线，再求出各边长，相加求出梯形的周长．

解答：证明：（1）∵矩形ABCD中，AC、BD交于O点，
∴BO=CO
又∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，
∴∠BEO=∠CFO=90°
又∵∠BOE=∠COF
在△BOE和△COF中，

∠BEO=∠CFO ∵∠BOE=∠COF BO=CO

，
∴△BOE≌△COF（AAS）
∴EO=FO，BO=CO
又∵∠EOF=∠COB
∴∠OEF=∠OFE=∠OCB=∠OBC
∴EF∥BC
又∵BE=CF
∴四边形BCFE是等腰梯形；

（2）解：∵∠CDF=60°，CF=

3

cm．
∴在Rt△BCD中∠CBF=30°
∴BC=2CF=2

3

cm
∵在矩形ABCD中，∠CDF=60°，且OC=OD，
∴△OCD是等边三角形，
又∵CF⊥OD，
∴OF=FD，
同理，OE=EA，
∴在三角形OAD中，EF是中位线，
∴EF=

AD

2

∵BC=AD=2

3

cm
∴EF=

3

cm
又∵BE=CF=

3

∴等腰梯形BCFE周长是：CF+BC+BE+EF=

3

+2

3

+

3

+

3

=5

3

（cm）

点评：本题主要考查了等腰梯形的判定及全等三角形的判定和三角形中位线的灵活运用．