如图1.在△ABC中.∠C=90°.点D在AC上.且CD＞DA.DA=2.点P.Q同时从点D出发.以相同的速度分别沿射线DC.射线DA运动.过点Q作AC的垂线段QR.使QR=PQ.连接PR.当点Q到达点A时.点P.Q同时停止运动．设PQ=x.△PQR与△ABC重叠部分的面积为S.S关于x的函数图象如图2所示(其中0＜x≤$\frac{8}{7}$.$\frac{8}{7}$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．如图1，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，且CD＞DA，DA=2，点P，Q同时从点D出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动，过点Q作AC的垂线段QR，使QR=PQ，连接PR，当点Q到达点A时，点P，Q同时停止运动．设PQ=x，△PQR与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤$\frac{8}{7}$，$\frac{8}{7}$＜x≤m时，函数的解析式不同）．
（1）填空：n的值为$\frac{32}{49}$；
（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

分析（1）当x=$\frac{8}{7}$时，△PQR与△ABC重叠部分的面积就是△PQR的面积，然后根据PQ=$\frac{8}{7}$，QR=PQ，求出n的值是多少即可．
（2）首先根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况：当0＜x≤$\frac{8}{7}$时，S=$\frac{1}{2}$×PQ×RQ=$\frac{1}{2}$x²，判断出当点Q点运动到点A时，x=2AD=4，据此求出m=4；然后求出当$\frac{8}{7}$＜x≤4时，S关于x的函数关系式即可．

解答解：（1）如图1，
，
当x=$\frac{8}{7}$时，△PQR与△ABC重叠部分的面积就是△PQR的面积，
∵PQ=$\frac{8}{7}$，QR=PQ，
∴QR=$\frac{8}{7}$，
∴n=S=$\frac{1}{2}$×（$\frac{8}{7}$）²=$\frac{1}{2}$×$\frac{64}{49}$=$\frac{32}{49}$．

（2）如图2，
，
根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况：
当0＜x≤$\frac{8}{7}$时，
S=$\frac{1}{2}$×PQ×RQ=$\frac{1}{2}$x²，
当点Q点运动到点A时，
x=2AD=4，
∴m=4．
当$\frac{8}{7}$＜x≤4时，
S=S_△APF-S_△AQE=$\frac{1}{2}$AP•FG-$\frac{1}{2}$AQ•EQ，
AP=2+$\frac{x}{2}$，AQ=2-$\frac{x}{2}$，
∵△AQE∽△AQ₁R₁，$\frac{AQ}{{AQ}_{1}}=\frac{QE}{{{Q}_{1}R}_{1}}$，
∴QE=$\frac{4}{5}（2-\frac{x}{2}）$，
设FG=PG=a，
∵△AGF∽△AQ₁R₁，$\frac{AG}{{AQ}_{1}}=\frac{FG}{{{Q}_{1}R}_{1}}$，
∴AG=2+$\frac{x}{2}$-a，
$\frac{2+\frac{x}{2}-a}{\frac{10}{7}}=\frac{a}{\frac{8}{7}}$
∴a=$\frac{4}{9}（2+\frac{x}{2}）$，
∴S=S_△APF-S_△AQE
=$\frac{1}{2}$AP•FG-$\frac{1}{2}$AQ•EQ
=$\frac{1}{2}$（2$+\frac{x}{2}$）$•\frac{4}{9}$（2$+\frac{x}{2}$）-$\frac{1}{2}$（2-$\frac{x}{2}$）•$\frac{4}{5}$（2$-\frac{x}{2}$）
=-$\frac{2}{45}$x²+$\frac{56}{45}x$$-\frac{32}{45}$
∴S=-$\frac{2}{45}$x²+$\frac{56}{45}x$$-\frac{32}{45}$．
综上，可得
S=$\left\{\begin{array}{l}{{\frac{1}{2}x}^{2}，0＜x≤\frac{8}{7}}\\{-{\frac{2}{45}x}^{2}+\frac{56}{45}x-\frac{32}{45}，\frac{8}{7}＜x≤4}\end{array}\right.$
故答案为：$\frac{32}{49}$．