Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），点C三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）x轴上是否存在点P，使PC+PB最小？若存在，请求出点P的坐标及PC+PB的最小值；若不存在，请说明理由；

（3）连接BC，设E为线段BC中点．若M是抛物线上一动点，将点M绕点E旋转180°得到点N，当以B、C、M、N为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）P（，0）；PC+PB的最小值；（3）N（，）或（，）．

【解析】

（1）先按抛物线与x轴的交点坐标设出抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），展开，即可得出结论；

（2）在x轴下方作∠ABD=30°，交y轴负半轴于D，先求出OD=，BD= ，进而求出CD=3+ ，再判断出当点C，P，B在同一条直线上时，PC+最小，最小值为CB'，即可得出结论；

（3）先判断出点M在x轴上方的抛物线，再构造出△BEM∽△CFM，得出即可得出结论．

解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），

∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，

∴﹣3a＝3，

∴a＝﹣1，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）如图，

在x轴下方作∠ABD＝30°，交y轴负半轴于D，则BD＝2OD，

∵B（3，0），

∴OB＝3，

根据勾股定理得，BD2﹣OD2＝32，

∴4OD2﹣OD2＝9，

∴OD＝ ，BD＝ ，

∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，

∴C（0，3），

∴OC＝3，

∴CD＝3+ ，

过点P作PB'⊥BD于B'，

在Rt△PB'B中，PB'＝PB，

∴PC+ PB＝PC+PB'，

当点C，P，B在同一条直线上时，PC+PB最小，最小值为CB'，

∵S△BCD＝CDOB＝BDCB'，

∴

即PC+PB的最小值 ，

∵OB＝OC＝3，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°，

∴∠DBC＝45°+30°＝75°，

∴∠BCP＝90°﹣75°＝15°，

∴∠OCP＝30°，

∵OC＝3，

∴OP＝ ，

∴P（，0）；

（3）如备用图，

设M（m，﹣m2+2m+3），

以B、C、M、N为顶点的四边形是矩形，

∴∠BMC＝90°，

∵点A在x轴负半轴，且∠BOC＝90°，

∴点M在x轴上方的抛物线，

过点M作ME⊥x轴于E，作MF⊥y轴于F，

∴∠MEO＝∠MFO＝90°＝∠EOF，

∴四边形OEMF是矩形，

∴∠EMF＝90°，

∴∠BME＝∠CMF，

∵ ∠BEM＝∠CFM＝90°，

∴△BEM∽△CFM，

∴

∴

∴m＝ ，

∴M（ ， ）或（ ，），

∵点N是点M关于点E（，）的对称点，

∴或