如图1.在平面直角坐标系内.点O为坐标原点.直线AB交x轴.y轴分别于A.B.A.a为不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2(a+1)≤23}\\{\frac{a}{2}-1≥2}\end{array}\right.$的整数解.b和c为方程$\left\{\begin{array}{l}{10c+b=4a}\\{c+b=13}\end{array}\right.$的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．如图1，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，直线AB交x轴、y轴分别于A、B，A（0，a）、B（b，0），a为不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2（a+1）≤23}\\{\frac{a}{2}-1≥2}\end{array}\right.$的整数解，b和c为方程$\left\{\begin{array}{l}{10c+b=4a}\\{c+b=13}\end{array}\right.$的解，且b为整数．
（1）求a、b、c的值；
（2）点N在x轴正半轴上，点M坐标为（0，c），连接AN、MN，且S_△MAN=$\frac{7}{15}$S_△NBA，求点N的坐标；
（3）在（2）的条件下，如图2，将线段AN绕点A顺时针旋转得到线段AW（AW=AN），且∠WAN=∠NMO，点C在OA上，且AC=MN，求WC的长．

分析（1）首先解不等式求得a的整数解，然后解方程组，根据b、c、a都是整数即可求解；
（2）设N的坐标是（0，n），根据三角形的面积公式，以及已知条件S_△MAN=$\frac{7}{15}$S_△NBA，求得n的值；
（3）首先证明△ACW≌△NMA，则AC=MN，利用勾股定理求得MN，则WC即可求得．

解答解：（1）解不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2（a+1）≤23}\\{\frac{a}{2}-1≥2}\end{array}\right.$得：6≤a≤$\frac{21}{2}$，
则a的整数值是6或7或8或9或10．
$\left\{\begin{array}{l}{10c+b=4a…①}\\{c+b=13…②}\end{array}\right.$，
①-②得9c=4a-13，
则c=$\frac{4a-13}{9}$．
在a=6或7或8或9或10中，只有a=10时，c是整数．
则a=10，c=3．
把c=3代入②得b=10；
（2）A、B、M的坐标是（0，10），（10，0），（0，3），则OA=OB=10，OM=6．
设N的坐标是（0，n），
∵S_△MAN=$\frac{7}{15}$S_△NBA，
∴$\frac{1}{2}$×（10-3）n=$\frac{7}{15}$×$\frac{1}{2}$×7×（10-n），
解得：n=$\frac{35}{11}$，
则N的坐标是（0，$\frac{35}{11}$）；
（3）∵∠NMO=∠NAM+∠ANM．
又∵∠WAN=∠WAC+∠NAM，
∴∠WAC=∠ANM，
∴在△ACW和△NMA中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=MN}\\{∠WAC=∠ANM}\\{AW=AN}\end{array}\right.$，
∴△ACW≌△NMA，
∴AC=MN，
在直角△OMN中，MN=$\sqrt{O{N}^{2}+O{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{34}$．
则AC=$\sqrt{34}$，
∴WC=OA-AC-OM=10-$\sqrt{34}$-3=7-$\sqrt{34}$．