已知.如图①.在Rt△ACB中.∠ACB=90°.AC=3.BC=4.点P为线段BC上的一动点过点P作PQ⊥BC交AB于点Q.在AC边上取一点D.使QD=QP.连结DP.设CP=x(1)求QP的长.用含x的代数式表示．(2)当x为何值时.△DPQ为直角三角形?(3)记点D关于直线PQ的对称点为点D′．①当点D′落在AB边上时.求x的值,②在①的条件下.如图②.将此时� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．已知，如图①，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点P为线段BC上的一动点（不运动到C，B两点）过点P作PQ⊥BC交AB于点Q，在AC边上取一点D，使QD=QP，连结DP，设CP=x
（1）求QP的长，用含x的代数式表示．
（2）当x为何值时，△DPQ为直角三角形？
（3）记点D关于直线PQ的对称点为点D′．
①当点D′落在AB边上时，求x的值；
②在①的条件下，如图②，将此时的△DPQ绕点P顺时针旋转一个角度α（0°＜α＜∠DPB），在旋转过程中，设DP所在的直线与直线AB交于点M，与直线AC交于点N，是否存在这样的M，N两点，使△AMN为等腰三角形？若存在，求出此时AN的长；若不存在，请说明理由．

分析（1）由PQ∥AC，得$\frac{PQ}{AC}$=$\frac{PB}{BC}$，列出方程即可解决问题．
（2）因为△DPQ为直角三角形，由题意只有∠DQP=90°，如图2中，首先证明四边形PCDQ是正方形，由PQ∥AC，得$\frac{PQ}{AC}$=$\frac{PB}{BC}$，列出方程即可解决问题．
（3）①当点D′落在AB边上时，如图3中，设PQ与DD′交于点H．作D$′\\;M⊥BC$于M．由△QHD′∽△ACB，得$\frac{QD′}{AB}$=$\frac{QH}{AC}$，由D′M∥AC，得到$\frac{D′M}{AC}$=$\frac{BM}{BC}$，求出D′M，列出方程即可解决问题．
②由题意只有旋转到如图位置时，△AMN是等腰三角形，此时AN=AM．首先证明PA平分∠BAC，再根据△ACP∽△APN，得$\frac{AC}{AP}$=$\frac{AP}{AN}$，列出方程即可解决问题．

解答解：（1）如图1中，

∵PQ⊥BC，
∴∠QPB=∠C=90°，
∴PQ∥AC，
∴$\frac{PQ}{AC}$=$\frac{PB}{BC}$，
∴$\frac{PQ}{3}$=$\frac{4-x}{4}$，
∴PQ=$\frac{3}{4}$（4-x）．

（2）因为△DPQ为直角三角形，由题意只有∠DQP=90°，如图2中，

∵∠DQP=∠C=∠QPC=90°，
∴四边形PCDQ是矩形，
∵DQ=PQ，
∴四边形PCDQ是正方形，
∵∴PQ∥AC，
∴$\frac{PQ}{AC}$=$\frac{PB}{BC}$，
∴$\frac{x}{3}$=$\frac{4-x}{4}$，
∴x=$\frac{12}{7}$，
∴当x=$\frac{12}{7}$时，△PDQ是直角三角形．

（3）①当点D′落在AB边上时，如图3中，设PQ与DD′交于点H．作D$′\\;M⊥BC$于M．

∵∠QHD′=∠C=90°，∠HD′Q=∠B，
∴△QHD′∽△ACB，
∴$\frac{QD′}{AB}$=$\frac{QH}{AC}$，
∵D′M∥AC，
∴$\frac{D′M}{AC}$=$\frac{BM}{BC}$，
∴$\frac{D′M}{3}$=$\frac{4-2x}{4}$，
∴D′M=3-$\frac{3}{2}$x，
∴QH=PQ-PH=3-$\frac{3}{4}x$-3+$\frac{3}{2}$x=$\frac{3}{4}$x，
∴$\frac{3-\frac{3}{4}x}{5}$=$\frac{\frac{3}{4}x}{3}$，
∴x=$\frac{3}{2}$．
∴x=$\frac{3}{2}$时，点D′落在AB边上．

②由题意只有旋转到如图位置时，△AMN是等腰三角形，此时AN=AM．

作PH⊥AB于H，
∵PC=$\frac{3}{2}$，
∴PB=BC-PC=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∵sin∠ABC=$\frac{PH}{PB}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴$\frac{PH}{\frac{5}{2}}$=$\frac{3}{5}$，
∴PH=$\frac{3}{2}$，
∴PC=PH，∵PC⊥AC，PH⊥AB，
∴PA平分∠BAC，
∵AN=AM，
∴AP⊥MN，
∵∠PAC=∠PAN，∠ACP=∠APN，
∴△ACP∽△APN，
∴$\frac{AC}{AP}$=$\frac{AP}{AN}$，
∴$\frac{3}{\sqrt{{3}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{{3}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}}{AN}$，
∴AN=$\frac{15}{4}$．