Question

7．如图，⊙O的半径是6cm，弦AB=10cm，弦CD=8cm，且AB⊥CD于P，则OP的长是（　　）

• A． $\sqrt{30}$cm
• B． $\sqrt{31}$cm
• C． 7cm
• D． 4$\sqrt{2}$cm

Answer 1

分析 作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC，首先利用勾股定理求得OM、ON的长，然后判定四边形OMPN是矩形，求得ON=MP，根据勾股定理求出即可．

解答 解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC，
∵AB=10cm，CD=8cm，
∴AM=BM=5cm，CM=DN=4cm，
∵⊙O的半径是6cm，
∴OA=OC=6cm，
∴OM=$\sqrt{{6}^{2}-{5}^{2}}$=$\sqrt{11}$（cm），
ON=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$（cm）
∵AB⊥CD，
∴∠CPA=90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四边形MONP是矩形，
∵MP=ON=2$\sqrt{5}$cm，
在Rt△OMP中，由勾股定理得：OP=$\sqrt{O{M}^{2}+M{P}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{11}）^{2}+（2\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{31}$（cm）．
故选B．

点评 本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．