Question

如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．
（1）求证：MN是半圆的切线；
（2）作DH⊥BC交BC的延长线于点H，连接CD，试判断线段AE与线段CH的数量关系，并说明理由．
（3）若BC=4，AB=6，试求AE的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）由AB是直径得出∠ACB=90°，推出∠CAB+∠MAC=90°即可；
（2）连接AD，证明△ADE≌△CDH即可；
（3）由（2）可得出AE=CH，且DE=DH，可证得BE=BH，结合BC和AB的长可求出AE．

解答：解：（1）如右图所示，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵∠MAC=∠ABC，
∴∠CAB+∠MAC=90°，
即∠MAB=90°，
∴MN是半圆的切线；
（2）AE=CH，理由如下：
连接AD，

∵D是

AC

的中点，
∴AD=CD，∠HBD=∠ABD，
∵DE⊥AB，DH⊥BC，
∴AD=DC，且∠AED=∠DHC，
在Rt△ADE和Rt△CDH中，

AD=CD DE=CD

，
∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL），
∴AE=CH；
（3）由（2）知DH=DE，∠DHB=∠DEB=90°，
在△RtDBH和Rt△DBE中，

DH=DE BD=BD

，
∴△RtDBH≌Rt△DBE（HL），
∴BE=BH，
∴BA-AE=BC+CH，且AE=CH，
∴BA-AE=BC+AE，
又∵AB=6，BC=4，
∴6-AE=4+AE，
∴AE=1．

点评：本题主要考查切线的判定及圆周角定理等知识的综合运用，注意证明切线的两种思路，已知切点时可证明垂直，没有切点时可作垂直证明距离等于半径．