Question

1．（1）问题探究：
如图1，△ABC、△ADE均为等边三角形，连接BD、CE，则线段BD与CE的数量关系是相等．
（2）类比延伸
如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE=30°，连接BD、CE，试确定BD与CE的数量关系，并说明理由．
（3）拓展迁移
如图3，在四边形ABCD中，AC⊥BC，且AC=BC，CD=4，若将线段DA绕点D按逆时针方向旋转90°得到DA′，连接BA′，则线段BA′的长度是4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质可得AC=AB，AE=AD，∠EAD=∠CAB=60°，可得∠EAC=∠DAB，易得△EAC≌△DAB，由全等三角形的性质可得BD=CE；
（2）根据三角形的内角和和直角三角形的性质得到∠EAD=∠CAB=60°，AD=2AE，AB=2AC，推出△EAD∽△CAB，得到$\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}$，于是得到△EAC∽△DAB，求得$\frac{BD}{CE}=\frac{AD}{AE}$=2，即可得到结论；
（3）首先证明△ABC和△AA′D为等腰直角三角形，从而求得AB：AC=$\sqrt{2}$，$\frac{AA′}{AD}=\frac{AB}{AC}$，然后再证明∠A′AB=∠DAC，从而可证明△CAD∽△BA′A，最后利用相似三角形的性质可求得A′B的长度．

解答 解：（1）∵△ABC、△ADE均为等边三角形，
∴AC=AB，AE=AD，∠EAD=∠CAB=60°，
∴∠EAC=60°-∠CAD，∠DAB=60°-∠CAD，
∴∠EAC=∠DAB，
在△EAC与△DAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠EAC=∠DAB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△DAB，
∴BD=CE；

（2）BD=2CE，
理由：∵∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE=30°，
∴∠EAD=∠CAB=60°，AD=2AE，AB=2AC，
∴∠EAC=∠DAB，△EAD∽△CAB，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}$，
∴△EAC∽△DAB，
∴$\frac{BD}{CE}=\frac{AD}{AE}$=2，
∴BD=2CE；

（3）连接A′A，如图③，
∵AC⊥BC，且AC=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形．
∴$\frac{AB}{AC}=\sqrt{2}$，
∵将线段DA绕点D按逆时针方形旋转90°得到DA′
∴△AA′D为等腰直角三角形．
∴△ABC∽△AA′D．
∴$\frac{AA′}{AD}=\frac{AB}{AC}$，
又∵∠CAB=∠A′AD，
∴∠A′AB=∠DAC，
∵$\frac{AA′}{AD}=\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{AA′}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
∴△CAD∽△BA′A．
∴$\frac{A′B}{CD}=\frac{AB}{AC}$，即$\frac{A′B}{4}=\sqrt{2}$，
∴A′B=4$\sqrt{2}$．
故答案为：4$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质及判定定理、相似三角形的性质和判定，证得相似三角形是解题的关键．