Question

如图，已知x=1是方程的ax²+bx+c=0（a≠0）一个根，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，交y轴于C（0，

7

3

）点，顶点为M，对称轴x=4与x轴交于N点，P为对称轴上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以P点为圆心，OM长为半径的圆经过C点时，请用尺规先确定P点的位置，再求⊙P与y轴的另一个交点Q的坐标；
（3）探究：是否存在同时与直线OM和x轴都相切的⊙P？若存在，请求出⊙P的半径及圆心坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把x=1代入方程可得到关于a，b，c的关系式，再把C点的坐标代入抛物线解析式和抛物线的对称轴为x=4也可得到关于a，b，c的关系式，由此可求出a，b，c的值，进而求出抛物线的解析式；
（2）易求M点的坐标，所以OM的长可求出，用圆规量取OM距离，以C为圆心，OM为半径画圆，圆弧和MN的交点即为P点；
（3）存在同时与直线OM和x轴都相切的⊙P，首先求出直线OM的解析式，设P（4．，y），若圆和直线OM和x轴都相切则⊙p的半径为y的绝对值，由此求出的值即可．

解答：解：（1）∵x=1是方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，
∴a+b+c=0，①
∵抛物线y=ax²+bx+c交y轴于C（0，

7

3

）点，
∴c=

7

3

，②
∵抛物线对称轴x=4，
∴x=-

b

2a

=4，③
由①②③可得：a=

1

3

，b=-

8

3

，c=

7

3

，
∴抛物线的解析式：y=

1

3

x²-

8

3

x+

7

3

；
（2）用圆规量取OM距离，以C为圆心，OM为半径画圆，圆弧和MN的交点即为P点，
∵y=

1

3

x²-

8

3

x+

7

3

，
∴顶点M坐标（4，-3），
∴OM=PC=

32+42

=5，
设P（4．，y），则（4-0）²+（y-

7

3

）²=25，
解得：y=

16

3

或-

2

3

，
∴⊙P：（x-4）²+（y-

16

3

）²=25或（x-4）²+（y+

2

3

）²=25，
∴Q点的坐标为（0，

25

3

）或（0，-

11

3

）；
（3）存在同时与直线OM和x轴都相切的⊙P，
理由如下：设直线OM的解析式为y=kx，
∵M点的坐标为（4，-3），
∴y=-

3

4

x，
设P（4．，y），若圆和直线OM和x轴都相切则轴相切则⊙p的半径为y的绝对值，
∴P到OM的距离d=|

12+4y

5

|=|y|，
解得y=-

4

3

或12，
∴⊙p半径为

4

3

或12，
∴P的坐标为（4，-

4

3

）或（4，12）．

点评：此题主要考查了一次函数和二次函数函数解析式的确定、勾股定理的运用、圆与直线的位置关系以及二次函数的性质等重点知识；在解题过程中要注意数形结合思想的合理应用．