Question

如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的切线AP交CD的延长线于点P．
（1）求证：AP=

2

AB；
（2）若PE切⊙O于点E，求sin∠ABE的值．

Answer 1

考点：切线的性质,平行四边形的性质

专题：证明题

分析：（1）连结AC，根据正方形的性质得∠ADC=90°，∠CAD=45°，AB=AD，则根据圆周角定理得到AC为⊙O的直径，再根据切线的性质由PA为⊙O的切线得OA⊥PA，则∠PAD=45°，可判断△PAD为等腰直角三角形，所以PA=

2

AD，于是有PA=

2

AB；
（2）连结OP、OE，根据切线的性质得OE⊥PE，则∠OEP=90°，再证明Rt△OAP≌Rt△OEP，得到∠AOP=∠EOP，根据圆周角定理得∠ABE=

1

2

∠AOE，所以∠ABE=∠AOP，由于AC=

2

AB，则OA=

2

2

AB，在Rt△OAP中，利用勾股定理得到OP=

10

2

AB，然后利用正弦的定义得到sin∠AOP=

AP

OP

=

2 5

5

，所以sin∠ABE=

2 5

5

．

解答：（1）证明：连结AC，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADC=90°，∠CAD=45°，AB=AD，
∴AC为⊙O的直径，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∴∠PAD=45°，
∴△PAD为等腰直角三角形，
∴PA=

2

AD，
∴PA=

2

AB；
（2）解：连结OP、OE，如图，
∵PE为⊙O的切线，
∴OE⊥PE，
∴∠OEP=90°，
在Rt△OAP和Rt△OEP中

OA=OE OP=OP

，
∴Rt△OAP≌Rt△OEP，
∴∠AOP=∠EOP，
∵∠ABE=

1

2

∠AOE，
∴∠ABE=∠AOP，
∵AC=

2

AB，
∴OA=

2

2

AB，
在Rt△OAP中，PA=

2

AB，OA=

2

2

AB，
∴OP=

OA2+PA2

=

10

2

AB，
∴sin∠AOP=

AP

OP

=

2 AB

10 2 AB

=

2 5

5

，
∴sin∠ABE=

2 5

5

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质、正方形的性质和锐角三角函数．