Question

如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC于点E，交⊙O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF．
（1）求证：直线PC是⊙O的切线；
（2）若AB=

10

，AD=2，求线段PC的长．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理,平行四边形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）首先连接OC，由AD与⊙O相切，可得FA⊥AD，四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，然后由垂径定理可证得F是

BC

的中点，BE=CE，∠OEC=90°，又由∠PCB=2∠BAF，即可求得∠OCE+∠PCB=90°，继而证得直线PC是⊙O的切线；
（2）首先由勾股定理可求得AE的长，然后设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3-r，则可求得半径长，易得△OCE∽△CPE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得线段PC的长．

解答：（1）证明：连接OC．
∵AD与⊙O相切于点A，
∴FA⊥AD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴FA⊥BC．
∵FA经过圆心O，
∴F是

BC

的中点，BE=CE，∠OEC=90°，
∴∠COF=2∠BAF．
∵∠PCB=2∠BAF，
∴∠PCB=∠COF．
∵∠OCE+∠COF=180°-∠OEC=90°，
∴∠OCE+∠PCB=90°．
∴OC⊥PC．
∵点C在⊙O上，
∴直线PC是⊙O的切线．

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=2．
∴BE=CE=1．
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB=

10

，
∴AE=

AB2-BE2

=3．
设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3-r．
在Rt△OCE中，∠OEC=90°，
∴OC²=OE²+CE²．
∴r²=（3-r）²+1．
解得r=

5

3

，
∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP=90°．
∴△OCE∽△CPE，
∴

OE

CE

=

OC

CP

．
∴

3- 5 3

1

=

5 3

CP

．
∴CP=

5

4

．

点评：此题考查了切线的判定、平行四边形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．