Question

如图△AOC中，以O为圆心，OA为半径作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于点B，垂足为点O，连接AB交OC于点D，∠CAD=∠CDA．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OA=5，OD=1，求线段AC的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）根据已知条件“∠CAD=∠CDA”、对顶角∠BDO=∠CDA可以推知∠BDO=∠CAD；然后根据等腰三角形OAB的两个底角相等、直角三角形的两个锐角互余的性质推知∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°，可得AC是⊙O的切线；
（2）根据“等角对等边”可以推知AC=DC，所以由图形知OC=OD+CD；然后利用（1）中切线的性质可以在Rt△OAC中，根据勾股定理来求AC的长度．

解答：（1）证明：∵∠CAD=∠CDA，∠BDO=∠CDA，
∴∠BDO=∠CAD，
又∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB，
∵OB⊥OC，
∴∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，
即∠OAC=90°，
∴AC是⊙O的切线；

（2）设AC=x，
∵∠CAD=∠CDA，
∴DC=AC=x，
∵OA=5，OD=1，
∴OC=OD+DC=1+x；
∵由（1）知，AC是⊙O的切线，
∴在Rt△OAC中，根据勾股定理得，：OC²=AC²+OA²，
即（1+x）²=x²+5²，
解得x=12，
即AC=12．

点评：此题考查了切线的性质与判定、勾股定理以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．