CD是经过∠BCA顶点C的一条直线.CA=CB．E.F分别是直线CD上两点.且∠BEC=∠CFA=∠α．(1)如图1.直线CD经过∠BCA的内部.且E.F在射线CD上.若∠BCA=90°.∠α=90°.则BE CF,EF |BE-AF|,(2)如图2.直线CD经过∠BCA的内部.且E.F在射线CD上.若∠BCA=60°.则当∠α= 时.(1)中的两个结论仍然成立.请证明两� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．
（1）如图1，直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE

CF；EF

|BE-AF|（填“＞”，“＜”，“=”）；
（2）如图2，直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，若∠BCA=60°，则当∠α=

时，（1）中的两个结论仍然成立，请证明两个结论成立．
（3）如图3，若直线CD经过∠BCA的内部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据三角形内角和定理和直角求出∠CBE=∠ACF，利用AAS即可证明三角形BCE与三角形CAF全等，根据全等三角形的对应边相等得到BE=CF，CE=AF，而EF=CF-CE，等量代换得证；
（2）在三角形BCE中，由∠BEC=120°，根据三角形内角和定理求出∠CBE=∠ACF，利用AAS即可证明三角形BCE与三角形CAF全等，根据全等三角形的对应边相等得到BE=CF，CE=AF，而EF=CF-CE，等量代换得证；
（3）在三角形BCE中，由∠BEC=∠α，根据三角形内角和定理求出∠CBE=∠ACF，利用AAS即可证明三角形BCE与三角形CAF全等，根据全等三角形的对应边相等得到BE=CF，CE=AF，即可得出EF=CF+CE，

解答：解：（1）∵∠BCA=∠BEC=∠CFA=90°，
∴∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，
∴∠BCE=∠CAF，
在△BCE和△CAF中，

∠CEB=∠CFA

∠BCE=∠CAF

BC=AC

，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，CE=AF，
∴EF=|CF-CE|=|BE-AF|，
故答案额：=，=；

（2）当∠α=120°时，（1）中的两个结论仍然成立，
理由是：∵∠BEC=∠CFA=∠α=120°，
∴∠CBE+∠BCE=180°-120°=60°，∠BCE+∠ACF=∠BCA=60°，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中，

∠CEB=∠CFA

∠BCE=∠CAF

BC=AC

，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，CE=AF，
∴EF=|CF-CE|=|BE-AF|，
故答案为：120°；

（3）EF=AF+BE，
理由是：∵∠BEC=∠CFA=∠α，
∴∠CBE+∠BCE=∠BCE+∠ACF=∠BCA，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中，

∠CEB=∠CFA

∠BCE=∠CAF

BC=AC

，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，CE=AF，
∴EF=AF+BE．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，此题是一道比较复杂的题目，综合性比较强，本题考查了从特殊到一般的过程，考查了学生的分析能力和推理能力，证明过程类似．