Question

1．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB中点，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点C作AB的平行线，交DF的延长线于点E，连接CD，AE．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）当∠BAC的大小满足什么条件时，四边形AECD是正方形？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由ASA证明△CEF≌△ADF，得出对应边相等EF=DF，证出四边形AECD是平行四边形，再由对角线互相垂直，即可得出四边形AECD是菱形；
（2）由菱形的性质得出∠EAC=∠BAC=45°，得出∠EAD=90°，即可得出四边形AECD是正方形．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，DF⊥AC，
∴DF∥BC，∵点D是AB中点，
∴F是AC的中点，
∴AF=CF，
∵CE∥AB，
∴∠ECF=∠DAF，
在△CEF和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECF=∩DAF}&{\;}\\{CF=AF}&{\;}\\{∠EFC=∠DFA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CEF≌△ADF（ASA），
∴EF=DF，
∴四边形AECD是平行四边形，
又∵DF⊥AC，
∴四边形AECD是菱形；
（2）解：当∠BAC=45°时，四边形AECD是正方形；理由如下：
∵四边形AECD是菱形，
∴∠EAC=∠BAC=45°，
∴∠EAD=90°，
∴四边形AECD是正方形．

点评 本题考查了正方形的判定方法、菱形的判定方法、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形和正方形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．