Question

16．如图，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，点F为DE的中点，求证：BC=2AF．

Answer 1

分析 延长AF到M，使AF=MF，连接DM，EM（如图），根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，得到ADME为平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到DM=AE=AC，∠ADM+∠DAE=180°，再由已知的∠BAD=∠CAE=90°得到∠BAC+∠DAE=180°，从而得到∠ADM=∠BAC，再由AB=AD，利用SAS求证△MDA≌△CAB，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证．

解答 证明：延长AF到M，使AF=MF，连接DM，EM（如图）

∵AF=MF，DF=EF，
∴四边形ADME为平行四边形．
∴DM=AE=AC，∠ADM+∠DAE=180°
又∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠DAE=180°，
∴∠ADM=∠BAC，
在△MDA和△CAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=AC}\\{∠ADM=∠BAC}\\{AD=AB}\end{array}\right.$
∴△MDA≌△CAB（SAS），
∴BC=AM，
∵AM=2AF，
∴BC=2AF．

点评 此题考查学生对等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此题的关键是延长AF到M，使AF=MF，连接DM，EM，求证两次三角形全等，即可证明BC=2AF．