Question

如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）证明：△AGE≌△ECF；
（2）连接GD，DF．判断四边形GEFD的形状，并说明理由．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）G、E分别为AB、BC的中点，由正方形的性质可知AG=EC，△BEG为等腰直角三角形，则∠AGE=180°-45°=135°，而∠ECF=90°+45°=135°，得∠AGE=∠ECF，再利用互余关系，得∠GAE=90°-∠AEB=∠CEF，ASA可证△AGE≌△ECF；
（2）过点F作FM⊥BH于M，过F作FN⊥DC于N，首先证明△AGD≌△ABE，所以GD=AE，再证明△AGD≌△EFM，所以GD=EF，再通过证明△DFN≌△BGE可得到DF=GE，所以四边形GEFD是平行四边形．

解答：证明：∵正方形ABCD，点G，E为边AB、BC中点，
∴AG=EC，△BEG为等腰直角三角形，
∴∠AGE=180°-45°=135°，
又∵CF为正方形外角平分线，
∴∠ECF=90°+45°=135°，
∵∠AEF=90°，
∴∠GAE=90°-∠AEB=∠CEF，
在△AGE和△ECF中，

∠AGE=∠CF AG=CE ∠GAE=∠CEF

，
∴△AGE≌△ECF（ASA）；
（2）四边形GEFD是平行四边形，
理由如下：过点F作FM⊥BH于M，过F作FN⊥DC于N，
易证△AGD≌△ABE，
∴GD=AE，∠BAE=∠ADG，
∵△AGE≌△ECF，
∴AE=EF，
∴GD=EF，
在△AGD和△EFM中，

∠DAG=∠FHE=90° ∠ADG=∠FEH GD=FE

，
∴△AGD≌△EFM（AAS），
∴GD=EF，
在△DFN和△BGE中，

DN=BE ∠DNF=∠B=90° NF=BG

，
∴△DFN≌△BGE（SAS），
∴DF=GE，
∴四边形GEFD是平行四边形．

点评：此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等；综合性较强，难度适中．