Question

如图，双曲线y=

k

x

经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，已知OA=2AN，△OAB的面积为10，则k的值是

 

．

Answer 1

考点：反比例函数系数k的几何意义

专题：

分析：过A点作AC⊥x轴于点C，易得△OAC∽△ONM，则OC：OM=AC：NM=OA：ON，而OA=2AN，即OA：ON=2：3，设A点坐标为（a，b），得到N点坐标为（

3

2

a，

3

2

b），由点A与点B都在y=

k

x

的图象上，根据反比例函数的坐标特点得B点坐标为（

3

2

a，

2

3

b），由OA=2AN，△OAB的面积为10，△NAB的面积为5，则△ONB的面积=10+5=15，根据三角形面积公式得

1

2

NB•OM=15，即

1

2

×（

3

2

b-

2

3

b）×

3

2

a=15，化简得ab=24，即可得到k的值．

解答：解：过A点作AC⊥x轴于点C，如图，
则AC∥NM，
∴△OAC∽△ONM，
∴OC：OM=AC：NM=OA：ON，
而OA=2AN，即OA：ON=2：3，设A点坐标为（a，b），则OC=a，AC=b，
∴OM=

3

2

a，NM=

3

2

b，
∴N点坐标为（

3

2

a，

3

2

b），
∴点B的横坐标为

3

2

a，设B点的纵坐标为y，
∵点A与点B都在y=

k

x

图象上，
∴k=ab=

3

2

a•y，
∴y=

2

3

b，即B点坐标为（

3

2

a，

2

3

b），
∵OA=2AN，△OAB的面积为10，
∴△NAB的面积为5，
∴△ONB的面积=10+5=15，
∴

1

2

NB•OM=15，即

1

2

×（

3

2

b-

2

3

b）×

3

2

a=15，
∴ab=24，
∴k=24．
故答案为24．

点评：本题考查了比例系数k的几何意义：在反比例函数y=

k

x

图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．