Question

△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为⊙O中弧AB上一点，连接DA并延长至点E，使∠ACB=∠ECD．
（1）求证：AE=BD；
（2）若AC⊥BC，求证：AD+BD=

2

CD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：证明题

分析：（1）根据同弧上的圆周角相等，得∠CBA=∠CDE，则∠ACB=∠ECD，可证明△ACE≌△BCD，则AE=BD；
（2）根据已知条件得，∠CED=∠CDE=45°，则DE=

2

CD，从而证出结论．

解答：证明：（1）在△ABC中，∠CAB=∠CBA，
在△ECD中，∠E=∠CDE．
∵∠CBA=∠CDE，（同弧上的圆周角相等），
∴∠E=∠CDE=∠CAB=∠CBA，
∵∠E+∠ECD+∠EDC=180°，∠CAB+∠ACB+∠ABC=180°，
∴∠ACB=∠ECD，
∴∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD．
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，∠ACE=∠BCD；CE=CD；AC=BC，
∴△ACE≌△BCD．
∴AE=BD；

（2）若AC⊥BC，∵∠ACB=∠ECD．
∴∠ECD=90°，
∴∠CED=∠CDE=45°，
∴DE=

2

，
又∵AD+BD=AD+EA=ED，
∴AD+BD=

2

CD．

点评：本题是一道综合题，考查了圆周角定理和全等三角形的性质和判定，解答这类题学生一般不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．