Question

已知：△ABC中AC=mAB，点D是AB的中点，∠C+∠EDF=180°，DE、DF分别交AC、BC于E、F．
（1）若∠C=90°，探究DE、DF间的数量关系．
（2）若∠C≠90°，探究DE、DF间的数量关系．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）作DG⊥AC，DH⊥BC，易证∠EDG=∠FDH，即可证明△DEG∽△DFH，可得

DE

DF

=

DG

DH

，易证BC=2DG，AC=2DH，即可解题；
（2）延长ED至点G，使DG=DE，连接FG，BG，易证△ADE≌△BDG，可得∠A=∠DBG，∠AED=∠BGD，易证C、F、D、E四点共圆，可得∠FDG=∠C，∠AED=∠CFD，即可求得∠CFD=∠BGD，可得BGDF四点共圆，可得∠DFG=∠A，即可证明△DFG∽△CAB，可得

DF

AC

=

DG

BC

，整理得：

DF

DG

=

AC

BC

，即可解题．

解答：解：（1）作DG⊥AC，DH⊥BC，

∵∠EDG+∠GDF=90°，∠GDF+∠FDH=90°，
∴∠EDG=∠FDH，
∵∠DGE=∠DHF=90°，
∴△DEG∽△DFH，
∴

DE

DF

=

DG

DH

，
∵∠C=90°，DG⊥AC，DH⊥BC，
∴BC=2DG，AC=2DH，
∴

DE

DF

=

DG

DH

=

BC

AC

=

1

m

，
∴DF=mDE；
（2）延长ED至点G，使DG=DE，连接FG，BG，

在△ADE和△BDG中，

DE=DG ∠ADE=∠BDG AD=BD

，
∴△ADE≌△BDG（SAS），
∴∠A=∠DBG，∠AED=∠BGD，
∵∠C+∠EDF=180°，
∴C、F、D、E四点共圆，
∴∠FDG=∠C，∠AED=∠CFD，
∴∠CFD=∠BGD，
∴BGDF四点共圆，
∴∠DFG=∠DBG，
∴∠DFG=∠A，
∴△DFG∽△CAB，∴

DF

AC

=

DG

BC

，
∴

DF

DG

=

AC

BC

=m，
∵DG=DE，
∴

DF

DE

=m，即DF=mDE．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，本题中求证△ADE≌△BDG和△DFG∽△CAB是解题的关键．