Question

在平面直角坐标系中，已知点B的坐标是（﹣1，0），点A的坐标是（4，0），点C的坐标是（0，4），抛物线过A、B、C三点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点N事抛物线上的一点（点N在直线AC上方），过点N作NG⊥x轴，垂足为G，交AC于点H，当线段ON与CH互相平分时，求出点N的坐标．

（3）设抛物线的对称轴为直线L，顶点为K，点C关于L的对称点J，x轴上是否存在一点Q，y轴上是否一点R使四边形KJQR的周长最小？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．

　

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得NH与OC的关系，根据解方程，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；

（3）根据线段垂直平分线上的点到线短两端点的距离相等，可得DR与DK的长，QJ与QE的关系，根据两点之间线段最短，可得KR+RQ+QJ=ED，根据勾股定理，可得DE的长，KJ的长．

【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，将A、B、C点坐标代入函数解析式，得

，

解得，

抛物线的解析式为y=﹣x²+3x+4；

（2）如图1，

设AC的解析式为y=kx+b，将A、C点坐标代入，得

，解得，

AC的解析式为y=﹣x+4，

设N（m，﹣m²+3m+4），H（m，﹣m+4）．

NH=﹣m²+4m．

由线段ON与CH互相平分，得

NH=OC=4，

即﹣m²+4m=4，

解得m=2，﹣m²+3m+4=6，即N（2，6），

当线段ON与CH互相平分时，点N的坐标为（2，6）；

（3）如图2，

作K点关于y轴的对称点D，作J点关于x轴的对称点E，连接DE交y轴于R交x轴于Q点，

y=﹣x²+3x+4=﹣（x﹣）²+，顶点K（，）．

由点C关于对称轴L=的对称点J，C（0，4），得

J点坐标为（3，4）．

由K点关于y轴的对称点D，K（，），得

D点坐标为（﹣，）．

由J点关于x轴的对称点E，J（3，4），得

E点的坐标为（3，﹣4）．

由勾股定理，得KJ==；

DE==，

KJQR的周长最小=KR+RQ+QJ+KJ=DE+KJ=+．

【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用平行四边形的判定与性质得出关于m的方程是解题关键，利用线段垂直平分线的性质得出DR与DK的长，QJ与QE的关系是解题关键．