Question

7．如图，直线l经过A（4，0）和B（0，4）两点，它与抛物线y=ax²在第一象限内交于P点，如果△AOP的面积为2，求此抛物线的解析式．

Answer 1

分析 先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=-x+4，则可设P（t，-t+4），根据三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•4•（-t+4）=2，解出t=3，于是得到P点坐标为（3，1），然后把P点坐标代入y=ax²中求出a即可．

解答 解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（4，0）和B（0，4）代入得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
所以直线AB的解析式为y=-x+4，
设P（t，-t+4），
因为△AOP的面积为2，
所以$\frac{1}{2}$•4•（-t+4）=2，解得t=3，
则P点坐标为（3，1），
把P（3，1）代入y=ax²得9a=1，解得a=$\frac{1}{9}$，
所以抛物线解析式为y=$\frac{1}{9}$x²．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．