Question

14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一个外角．
实践与操作：
根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）作∠DAC的平分线AM；
（2）作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE、CF
（3）若AE=5，EF=8，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）直接利用角平分线的作法得出答案；
（2）直接利用线段垂直平分线的作法得出答案；
（3）结合全等三角形的判定与性质得出EO=FO，进而利用勾股定理得出答案．

解答 解：（1）如图所示：AM即为所求；

（2）如图所示：AE、CF，点E即为所求；

（3）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AM平分∠DAC，
∴∠DAF=∠FAC，
∴∠FAC=∠ACE，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴AO=CO，
在△AOF和△EOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠OCE}\\{AO=CO}\\{∠AOF=∠EOC}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△EOC（ASA），
∴EO=FO=$\frac{1}{2}$EF=4，
∵AE=5，
∴AO=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴AC=AB=6．

点评 此题主要考查了复杂作图以及全等三角形的判定与性质等知识，正确掌握基本作图方法是解题关键．