Question

如图，平面直角坐标系中，直线y=x-5与双曲线y=

k

x

（x＞0）交于点A（m，1）
（1）求双曲线的解析式．
（2）将直线向上平移（如图），交x轴负半轴于点B，交y轴于点C，与双曲线交于点D，且CD=2BC，求平移后直线的解析式．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题,一次函数图象与几何变换

专题：计算题

分析：（1）先利用一次函数解析式确定A点坐标为（6，1），然后把把A点坐标代入y=

k

x

可计算出k的值，从而得到反比例函数解析式；
（2）作DE⊥x轴于E点，根据两直线平行的问题可设平移后直线解析式为y=x+m，以得B（-m，0），C（0，m），所以△BOC和△DBE是等腰直角三角形，则BE=DE，再由OC∥DE，根据平行线分线段成比例定理得BO：OE=BC：CD，而CD=2BC，所以OE=2OB=2m，则DE=BE=OB+OE=3m，可得到D点坐标（2m，3m），然后把D（2m，3m）代入y=

6

x

得2m•3m=6，解方程得到满足条件的m的值，从而得到平移后的直线解析式．

解答：解：（1）把（m，1）代入y=x-5得m-5=1，解得m=6，则A点坐标为（6，1），
把A（6，1）代入y=

k

x

得k=6×1=6，
所以反比例函数解析式为y=

6

x

；
（2）作DE⊥x轴于E点，如图，
设平移后直线解析式为y=x+m，则B（-m，0），C（0，m），
∴△BOC和△DBE是等腰直角三角形，
∴BE=DE，
∵OC∥DE，
∴BO：OE=BC：CD，
而CD=2BC，
∴OE=2OB=2m，
∴BE=OB+OE=3m，
∴DE=3m，
∴D点坐标（2m，3m），
把D（2m，3m）代入y=

6

x

得2m•3m=6，解得出m₁=1，m₂=-1，
∴平移后的直线解析式为y=x+1．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了直线平移、等腰直角三角形的性质和平行线分线段成比例定理．