题目内容
如图，直线y=-x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．（1）求该反比例函数的关系式；
（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；
①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；
②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC=
| 1 |
| m |
考点：反比例函数综合题,待定系数法求反比例函数解析式,勾股定理,矩形的判定与性质,垂径定理,直线与圆的位置关系,锐角三角函数的定义
专题：压轴题,探究型
分析：（1）设反比例函数的关系式y=
，然后把点P的坐标（2，1）代入即可．
（2）①先求出直线y=-x+3与x、y轴交点坐标，然后运用勾股定理即可求出△A′BC的周长；过点C作CD⊥AB，垂足为D，运用面积法可以求出CD长，从而求出sin∠BA′C的值．
②由于BC=2，sin∠BMC=
，因此点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上，因而点M应是⊙E与x轴的交点．然后对⊙E与x轴的位置关系进行讨论，只需运用矩形的判定与性质、勾股定理等知识就可求出满足要求的点M的坐标．
| k |
| x |
（2）①先求出直线y=-x+3与x、y轴交点坐标，然后运用勾股定理即可求出△A′BC的周长；过点C作CD⊥AB，垂足为D，运用面积法可以求出CD长，从而求出sin∠BA′C的值．
②由于BC=2，sin∠BMC=
| 1 |
| m |
解答：解：（1）设反比例函数的关系式y=
．
∵点P（2，1）在反比例函数y=
的图象上，
∴k=2×1=2．
即反比例函数的关系式y=
．
（2）①过点C作CD⊥AB，垂足为D，如图1所示．
当x=0时，y=0+3=3，
则点B的坐标为（0，3）．OB=3．
当y=0时，0=-x+3，解得x=3，
则点A的坐标为（3，0），OA=3．
∵点A关于y轴的对称点为A′，
∴OA′=OA=3．
∵PC⊥y轴，点P（2，1），
∴OC=1，PC=2．
∴BC=2．
∵∠AOB=90°，OA′=OB=3，OC=1，
∴A′B=3
，A′C=
．
∴△A′BC的周长为3
+
+2．
∵S△A′BC=
BC•A′O=
A′B•CD，
∴BC•A′O=A′B•CD．
∴2×3=3
×CD．
∴CD=
．
∵CD⊥A′B，
∴sin∠BA′C=
=
=
．
∴△A′BC的周长为3
+
+2，sin∠BA′C的值为
．
②当1＜m＜2时，
作经过点B、C且半径为m的⊙E，
连接CE并延长，交⊙E于点P，连接BP，
过点E作EG⊥OB，垂足为G，
过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2①所示．
∵CP是⊙E的直径，
∴∠PBC=90°．
∴sin∠BPC=
=
=
．
∵sin∠BMC=
，
∴∠BMC=∠BPC．
∴点M在⊙E上．
∵点M在x轴上
∴点M是⊙E与x轴的交点．
∵EG⊥BC，
∴BG=GC=1．
∴OG=2．
∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°，
∴四边形OGEH是矩形．
∴EH=OG=2，EG=OH．
∵1＜m＜2，
∴EH＞EC．
∴⊙E与x轴相离．
∴x轴上不存在点M，使得sin∠BMC=
．
②当m=2时，EH=EC．
∴⊙E与x轴相切．
Ⅰ．切点在x轴的正半轴上时，如图2②所示．
∴点M与点H重合．
∵EG⊥OG，GC=1，EC=m，
∴EG=
=
．
∴OM=OH=EG=
．
∴点M的坐标为（
，0）．
Ⅱ．切点在x轴的负半轴上时，
同理可得：点M的坐标为（-
，0）．
③当m＞2时，EH＜EC．
∴⊙E与x轴相交．
Ⅰ．交点在x轴的正半轴上时，
设交点为M、M′，连接EM，如图2③所示．
∵∠EHM=90°，EM=m，EH=2，
∴MH=
=
=
．
∵EH⊥MM′，
∴MH=M′H．
∴M′H═
．
∵∠EGC=90°，GC=1，EC=m，
∴EG=
=
=
．
∴OH=EG=
．
∴OM=OH-MH=
-
，
∴OM′=OH+HM′=
+
，
∴M（
-
，0）、M′（
+
，0）．
Ⅱ．交点在x轴的负半轴上时，
同理可得：M（-
+
，0）、M′（-
-
，0）．
综上所述：当1＜m＜2时，满足要求的点M不存在；
当m=2时，满足要求的点M的坐标为（
，0）和（-
，0）；
当m＞2时，满足要求的点M的坐标为（
-
，0）、（
+
，0）、（-
+
，0）、（-
-
，0）．
| k |
| x |
∵点P（2，1）在反比例函数y=
| k |
| x |
∴k=2×1=2．
即反比例函数的关系式y=
| 2 |
| x |
（2）①过点C作CD⊥AB，垂足为D，如图1所示．
当x=0时，y=0+3=3，
则点B的坐标为（0，3）．OB=3．
当y=0时，0=-x+3，解得x=3，
则点A的坐标为（3，0），OA=3．
∵点A关于y轴的对称点为A′，
∴OA′=OA=3．
∵PC⊥y轴，点P（2，1），
∴OC=1，PC=2．
∴BC=2．
∵∠AOB=90°，OA′=OB=3，OC=1，
∴A′B=3
| 2 |
| 10 |
∴△A′BC的周长为3
| 2 |
| 10 |
∵S△A′BC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴BC•A′O=A′B•CD．
∴2×3=3
| 2 |
∴CD=
| 2 |
∵CD⊥A′B，
∴sin∠BA′C=
| DC |
| A′C |
=
| ||
|
=
| ||
| 5 |
∴△A′BC的周长为3
| 2 |
| 10 |
| ||
| 5 |
②当1＜m＜2时，
作经过点B、C且半径为m的⊙E，
连接CE并延长，交⊙E于点P，连接BP，
过点E作EG⊥OB，垂足为G，
过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2①所示．
∵CP是⊙E的直径，
∴∠PBC=90°．
∴sin∠BPC=
| BC |
| PC |
| 2 |
| 2m |
| 1 |
| m |
∵sin∠BMC=
| 1 |
| m |
∴∠BMC=∠BPC．
∴点M在⊙E上．
∵点M在x轴上
∴点M是⊙E与x轴的交点．
∵EG⊥BC，
∴BG=GC=1．
∴OG=2．
∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°，
∴四边形OGEH是矩形．
∴EH=OG=2，EG=OH．
∵1＜m＜2，
∴EH＞EC．
∴⊙E与x轴相离．
∴x轴上不存在点M，使得sin∠BMC=
| 1 |
| m |
②当m=2时，EH=EC．
∴⊙E与x轴相切．
Ⅰ．切点在x轴的正半轴上时，如图2②所示．
∴点M与点H重合．
∵EG⊥OG，GC=1，EC=m，
∴EG=
| EC2-GC2 |
=
| 3 |
∴OM=OH=EG=
| 3 |
∴点M的坐标为（
| 3 |
Ⅱ．切点在x轴的负半轴上时，
同理可得：点M的坐标为（-
| 3 |
③当m＞2时，EH＜EC．
∴⊙E与x轴相交．
Ⅰ．交点在x轴的正半轴上时，
设交点为M、M′，连接EM，如图2③所示．
∵∠EHM=90°，EM=m，EH=2，
∴MH=
| EM2-EH2 |
=
| m2-22 |
=
| m2-4 |
∵EH⊥MM′，
∴MH=M′H．
∴M′H═
| m2-4 |
∵∠EGC=90°，GC=1，EC=m，
∴EG=
| EC2-GC2 |
=
| m2-12 |
=
| m2-1 |
∴OH=EG=
| m2-1 |
∴OM=OH-MH=
| m2-1 |
| m2-4 |
∴OM′=OH+HM′=
| m2-1 |
| m2-4 |
∴M（
| m2-1 |
| m2-4 |
| m2-1 |
| m2-4 |
Ⅱ．交点在x轴的负半轴上时，
同理可得：M（-
| m2-1 |
| m2-4 |
| m2-1 |
| m2-4 |
综上所述：当1＜m＜2时，满足要求的点M不存在；
当m=2时，满足要求的点M的坐标为（
| 3 |
| 3 |
当m＞2时，满足要求的点M的坐标为（
| m2-1 |
| m2-4 |
| m2-1 |
| m2-4 |
| m2-1 |
| m2-4 |
| m2-1 |
| m2-4 |
点评：本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、勾股定理、三角函数的定义、矩形的判定与性质、直线与圆的位置关系、垂径定理等知识，考查了用面积法求三角形的高，考查了通过构造辅助圆解决问题，综合性比较强，难度系数比较大．由BC=2，sin∠BMC=
联想到点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上是解决本题的关键．
| 1 |
| m |
练习册系列答案
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