Question

20．（1）问题解决：如图1，△ABC中，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，O为BO、CO交点，若∠A=72°，求∠BOC的度数（写出求解过程）；
（2）拓展与探究
①如图1，△ABC中，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，O为BO、CO交点，当∠A=α°，∠BOC的度数是90°+$\frac{1}{2}$α；
②如图2，BO、CO分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，O为BO、CO交点，则∠BOC与∠A的关系是∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A；（请直接写出你的结论）；
③如图3，BO、CO分别是△ABC一个内角∠CBA和一个外角∠ACD的平分线，O为BO、CO交点，则∠BOC与∠A的关系是∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A；（请直接写出你的结论）

Answer 1

分析 （1）求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线定义求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）①求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线定义求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出即可；
②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
③根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC与∠A的关系．

解答 解：（1）∵∠A=72°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=108°，
∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}×108°$=54°，
∴在△BOC中，∠BOC=180°--（∠OBC+∠OCB）=126°；

（2）①∵∠A=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-α，
∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}α$，
∴在△BOC中，∠BOC=180°--（∠OBC+∠OCB）=90°+$\frac{1}{2}α$，
故答案为：90°+$\frac{1}{2}$α；

②∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A，
∵BO、CO分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠DBC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ECB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（180°+∠A），
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°+∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
故答案为：∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A；

③∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCE=$\frac{1}{2}$∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠OCE=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A+∠OBC，
∵∠OCE是△BOC的一外角，
∴∠BOC=∠OCE-∠OBC=$\frac{1}{2}$∠A+∠OBC-∠OBC=$\frac{1}{2}$∠A，
故答案为：∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A．

点评 本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．