Question

14．函数y=x²+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：
①b²-4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x²+（b-1）x+c＜0；⑤（1+c）²＜b²
正确结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①由函数y=x²+bx+c与x轴无交点，可得b²-4c＜0；
②当x=1时，y=1+b+c=1；
③当x=3时，y=9+3b+c=3；
④当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x²+bx+c＜x，继而可求得答案；
⑤根据对称轴方程得到b的值；由抛物线与y轴的交点坐标得到c的值，代入数值进比较即可．

解答 解：①∵函数y=x²+bx+c与x轴无交点，
∴b²-4ac＜0；
故①错误；

②当x=1时，y=1+b+c=1，
故②错误；

③∵当x=3时，y=9+3b+c=3，
∴3b+c+6=0；
故③正确；

④∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x²+bx+c＜x，
∴x²+（b-1）x+c＜0．
故④正确．

⑤如图所示，抛物线与y轴的交点坐标是（0，3），则c=3．
对称轴x=-$\frac{b}{2}$=$\frac{0+3}{2}$，则b=-3，
所以（1+c）²=（1+3）²=16，b²=（-3）²=9，
则（1+c）²＞b²，
故⑤错误．
综上所述，正确的结论有2个．
故选：B．

点评 主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax²+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．