Question

13．如图所示，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，AB交OP于M，N为PM的中点，NT切⊙O于T点，求证：NT=NP．

Answer 1

分析 直线OP交⊙O于C、D，连接OA，如图，利用切线长定理和切线的性质得到OA⊥PA，PA=PB，OP平分∠APB，根据等腰三角形的性质可判断PO⊥AB，则利用射影定理得到AM²=OM•PM=OM•2MN，再有相交弦定理得到AM²=MD•MC，所以2OM•MN=MD•MC，接着利用切割线定理得到NT²=NC•ND，再利用等量代换得到NT²=MN²，从而得到NT=MN，所以NT=NP．

解答 证明：直线OP交⊙O于C、D，连接OA，如图，
∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点，
∴OA⊥PA，PA=PB，OP平分∠APB，
∴PO⊥AB，
∴AM²=OM•PM，
而MN=PN，
∴AM²=OM•2MN，
∵AM²=MD•MC，
∴2OM•MN=MD•MC，
∴NT²=NC•ND=（MN-MC）•（MD+MN）=MN²+（MD-MC）•MN-MC•MD=MN2+2OM•MN-MC•MD=MN²，
∴NT=MN，
∴NT=NP．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．熟练掌握应用射影定理、相交弦定理和切割线是解决问题的关键．