Question

12．如图，扇形OAB的圆心角的度数为120°，半径长为4，P为弧AB上的动点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M、N，D是△PMN的外心．当点P运动的过程中，点M、N分别在半径上作相应运动，从点N离开点O时起，到点M到达点O时止，点D运动的路径长为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$π
• B． π
• C． 2
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据题意画出点N离开点O时，到点M到达点O时的图形，得到点D运动的轨迹，根据弧长公式计算即可．

解答 解：当点N与点O重合时，∠P′OA=30°，OD=$\frac{1}{2}$OP′=2，
当点M与点O重合时，∠P′′OB=30°，OD=$\frac{1}{2}$OP′′=2，
∵D是△PMN的外心，
∴点D在线段PM的垂直平分线上，又PM⊥OA，
∴D为OP的中点，即OD=$\frac{1}{2}$OP=2，
∴点D运动的轨迹是以点O为圆心，2为半径，圆心角为60°的弧，
弧长为：$\frac{60π×2}{180}$=$\frac{2π}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的计算公式l=$\frac{nπr}{180}$、根据题意确定点D的运动轨迹是解题的关键．