Question

6．已知，抛物线C₁：y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+m+$\frac{1}{2}$．
（1）①无论m取何值，抛物线经过定点P（-1，0）；
②随着m的取值的变化，顶点M（x，y）随之变化，y是x的函数，则函数C₂的关系式为：y=$\frac{1}{2}$（x+1）²；
（2）如图1，抛物线C₁与x轴仅有一个公共点，请在图1画出顶点M满足的函数C₂的大致图象，平行于y轴的直线l分别交C₁、C₂于点A、B，若△PAB为等腰直角三角形，判断直线l满足的条件，并说明理由；
（3）如图2，二次函数的图象C₁的顶点M在第二象限、交x轴于另一点C，抛物线上点M与点P之间一点D的横坐标
为-2，连接PD、CD、CM、DM，若S_△PCD=S_△MCD，求二次函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）①直接得出点P的坐标；②用配方法确定出抛物线的顶点式方程，即可得出结论
（2）先确定出抛物线C₁，C₂的解析式，得出此两个函数图形关于x轴对称，从而设出点B的坐标，最后利用等腰直角三角形的性质列出方程，解方程即可得出结论；
（3）方法一：先确定出点C坐标，根据条件确定出四边形的面积是三角形PAC面积的2倍，列出方程即可确定出m．最后代入解析式即可；
方法二：先确定出直线CD解析式，再用到坐标系下的三角形面积公式（水平宽乘以铅垂高的一半建立方程的）分别表示出S_△PCD和S_△MCD，从而建立方程求解m，再代入解析式即可．

解答 解：（1）①∵抛物线C₁：y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+m+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$x²+m（x+1）+$\frac{1}{2}$．
∴当x+1=0时，无论m为何值，抛物线经过顶点P，
∴x=-1，y=0，
∴定点P（-1，0），
故答案为：-1，0；
②抛物线C₁：y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+m+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-m）²+$\frac{1}{2}$（m+1）²．
∴M（m，$\frac{1}{2}$（m+1）²），
∴函数C₂的关系式为y=$\frac{1}{2}$（x+1）²；
故答案为：y=$\frac{1}{2}$（x+1）²；
（2）如图1所示，

∵抛物线C₁：y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+m+$\frac{1}{2}$顶点在x轴，则m=-1，
∴抛物线C₁：y=-$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x+1）²，P（-1，0），
由②知，函数C₂的关系式为y=$\frac{1}{2}$（x+1）²；
∴抛物线C₁与C₂关于x轴对称，
∵△PAB为等腰直角三角形，
∴直角顶点只能是点P，且PC=BC=AC，
设B（n，$\frac{1}{2}$（n+1）²），
∴C（n，0），BC=$\frac{1}{2}$（n+1）²，
∴PC=|n+1|，
∴$\frac{1}{2}$（n+1）²=|n+1|，
∴n=-1（舍）或n=1或n=-3．
∴直线l的解析式为x=1或x=-3．
（3）方法一：如图2，过点M作ME⊥OC，过点D作DF⊥OC，

∵抛物线C₁：y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+m+$\frac{1}{2}$．
∴M（m，$\frac{1}{2}$（m+1）²），P（-1，0），C（2m+1，0），
∵抛物线上点M与点P之间一点D的横坐标为-2，
∴D（-2，-m-$\frac{3}{2}$），
∴S_△PCD=$\frac{1}{2}$PC×DF，
∵S_△PCD=S_△MCD，
S_{四边形CPDM}=S_△DFP+S_梯形DFEM+S_△CEM
=$\frac{1}{2}$×PF×DF+$\frac{1}{2}$（DF+ME）×EF+$\frac{1}{2}$×CE×ME
=2S_△PCD=2×$\frac{1}{2}$PC×DF，
∴PF×DF+EF×DF+ME×EF+CE×ME=2PC×DF，
∴DF（PF+EF）+ME（EF+CE）=2PC×DF，
∴DF×PE+ME×CF=2PC×DF，
∴DF×$\frac{1}{2}$PC+ME（PC-PF）=2PC×DF，
∴DF×PC+2ME×PC-2ME×PF=4PC×DF，
∴2ME×PC-3PC×DF=2ME×PF，
∴PC（2ME-3DF）=2ME×PF，
∴[-1-（2m+1）][（m+1）²-3（-m-$\frac{3}{2}$）]=（m+1）²×1，
∴（m+1）（m+4）（2m+3）=0，
∴m=-1（舍）或m=-4或m=-$\frac{3}{2}$，
当m=-4时，二次函数的解析式y=-$\frac{1}{2}$x²-4x-$\frac{7}{2}$．
当m=-$\frac{3}{2}$时，二次函数的解析式y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-1．


方法二，如图，过点M作ME⊥x轴交CD于E，过点D作DF⊥x轴，

∵抛物线C₁：y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+m+$\frac{1}{2}$．
∴M（m，$\frac{1}{2}$（m+1）²），P（-1，0），C（2m+1，0），
∵抛物线上点M与点P之间一点D的横坐标为-2，
∴D（-2，-m-$\frac{3}{2}$），
∴直线CD解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$（2m+1），
∴E（m，-$\frac{1}{2}$（m+1）
∵S_△MCD=$\frac{1}{2}$×CF×ME=$\frac{1}{2}$×[-2-（2m+1）]×[$\frac{1}{2}$（m+1）²+$\frac{1}{2}$（m+1）]=-$\frac{1}{2}$（m+1）（m+2）（m+$\frac{3}{2}$），
S_△PCD=$\frac{1}{2}$PC×DF=$\frac{1}{2}$[-1-（2m+1）]×（-m-$\frac{3}{2}$）=（m+1）（m+$\frac{3}{2}$），
∵S_△PCD=S_△MCD，
∴-$\frac{1}{2}$（m+1）（m+2）（m+$\frac{3}{2}$）=（m+1）（m+$\frac{3}{2}$），
∴（m+1）（m+4）（2m+3）=0，
∴m=-1（舍）或m=-4或m=-$\frac{3}{2}$，
当m=-4时，二次函数的解析式y=-$\frac{1}{2}$x²-4x-$\frac{7}{2}$．
当m=-$\frac{3}{2}$时，二次函数的解析式y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-1．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数解析式的两种形式的转化，等腰直角三角形的性质，图形面积的计算，解本题的关键是判断出抛物线C₁，C₂的图象关于x轴对称，（3）列出方程，解本题的难点是（3）方程的处理，计算量比较大，尤其是第三问的方程的处理．注：第三问，方法二，简洁，解方程也比较简单．