观察下列运算:由=1.得$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\sqrt{2}$-1,由($\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$)($\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$)=1.得$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$,由($\sqrt{4}$+$\sqrt{3}$)($\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$)=1. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

18．观察下列运算：
由（$\sqrt{2}$+1）（$\sqrt{2}$-1）=1，得$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\sqrt{2}$-1；
由（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）=1，得$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；
由（$\sqrt{4}$+$\sqrt{3}$）（$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$）=1，得$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$；
…
（1）通过观察得$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（2）利用（1）中你发现的规律计算：$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2016}+\sqrt{2015}}$．

分析（1）根据题意确定出所求即可；
（2）原式各项化简后，合并即可得到结果．

解答解：（1）$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
故答案为：$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（2）原式=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{2016}$-$\sqrt{2015}$=$\sqrt{2016}$-1．

点评此题考查了分母有理化，弄清题中的规律是解本题的关键．

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11．观察思考
某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH=4分米，PQ=3分米，OP=2分米．

解决问题
（1）点Q与点O间的最小距离是4分米；点Q与点O间的最大距离是5分米；点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是6分米．
（2）如图3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？
（3）①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是3分米；
②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．

9．阅读资料：
如图1，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由勾股定理得AB²=|x₂-x₁|²+|y₂-y₁|²，所以A，B两点间的距离为AB=$\sqrt{{{（{x_2}-{x_1}）}^2}+{{（{y_2}-{y_1}）}^2}}$．
我们知道，圆可以看成到圆心的距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xOy中，A （x，y）为圆上任意一点，则点A到原点的距离的平方为OA²=|x-0|²+|y-0|²，当⊙O的半径OA为r时，⊙O的方程可写为：x²+y²=r²．
问题拓展：
如果圆心坐标为P （a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为（x-a）²+（y-b）²=r²．
综合应用：
如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA，使∠POA=30°，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB．
①证明AB是⊙P的切线；
②是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以点Q为圆心，OQ长为半径的⊙Q的方程；若不存在，说明理由．

已知，抛物线C₁：y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+m+$\frac{1}{2}$．
（1）①无论m取何值，抛物线经过定点P（-1，0）；
②随着m的取值的变化，顶点M（x，y）随之变化，y是x的函数，则函数C₂的关系式为：y=$\frac{1}{2}$（x+1）²；
（2）如图1，抛物线C₁与x轴仅有一个公共点，请在图1画出顶点M满足的函数C₂的大致图象，平行于y轴的直线l分别交C₁、C₂于点A、B，若△PAB为等腰直角三角形，判断直线l满足的条件，并说明理由；
（3）如图2，二次函数的图象C₁的顶点M在第二象限、交x轴于另一点C，抛物线上点M与点P之间一点D的横坐标
为-2，连接PD、CD、CM、DM，若S_△PCD=S_△MCD，求二次函数的解析式．

如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AB=5，则CD=5．

如图，一次函数y=-$\frac{1}{2}$x+a（a＞0）的图象与坐标轴交于A，B两点，以坐标原点O为圆心，半径为2的⊙O与直线AB相离，则a的取值范围是a＞$\sqrt{5}$．

10．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图l），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于CE，垂足为H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段（不需要添加辅助线），并说明理由．

7．已知（a-3）²+|b-2|=0，c和d互为倒数，m与n互为相反数，y为最大的负整数，求（y+b）²+m（a+cd）+nb²．

5．已知：OC是圆M的直径，点D在半圆弧上运动（点D与点O和C不重合），∠OCD的平分线与圆M交与点E，连接OE交CD的延长线于B，点A在直径OC上，且OA=OD．
（1）如图1，当点D运动到什么位置时，点A和点M重合；
（2）如图2，作EF⊥CO于点F，猜想EF与图中已有的那条线段的一半相等，并加以证明．
（3）如图3，在上述条件下，过点E作CO的平行线交CB于点N，当NA⊥OC时，求EF：OF的值．