Question

一家图文广告公司制作的宣传画板颇受商家欢迎，这种画板的厚度忽略不计，形状均为正方形，边长在10～30dm之间．每张画板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：dm²）成正比例，每张画板的出售价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与画板的大小无关，是固定不变的．浮动价与画板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．

画板的边长（dm）	10	20
出售价（元/张）	160	220

（1）求一张画板的出售价与边长之间满足的函数关系式；
（2）已知出售一张边长为30dm的画板，获得的利润为130元（利润=出售价-成本价），
①求一张画板的利润与边长之间满足的函数关系式；
②当边长为多少时，出售一张画板所获得的利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

考点：二次函数的应用,待定系数法求一次函数解析式

专题：

分析：1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得出答案；
（2）①首先假设一张薄板的利润为W元，它的成本价为ax²元，由题意，得：W=y-ax²，进而得出m的值，求出函数解析式即可；
②利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可．

解答：解：（1）设正方形画板的边长为xdm，出售价为每张y元，且y=kx+b（k≠0），
由表格中的数据可得，

10k+b=160 20k+b=220

，
解得

k=6 b=100

，
从而一张画板的出售价y与边长x之间满足函数关系式y=6x+100；

（2）①设每张画板的成本价为ax²，利润W=6x+100-ax²，
当x=30时，W=130，180+100-900a=130，得a=

1

6

，
一张画板的利润W 与边长x之间满足函数关系式W=-

1

6

x²+6x+100；
②由W=-

1

6

（x-18）²+154，知当x=18时，W有最大值，W_最大=154，
因此当正方形画板的边长为18dm时，可获最大利润154元．

点评：本题考查了二次函数的最值求法以及待定系数法求一次函数解析式，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．