Question

我们分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定他们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M-N，若M-N＞0，则M＞N；若M-N=0，则M=N；若M-N＜0，则M＜N．利用“作差法”解决下列问题：
（1）如图，把边长为a+b（a≠b）的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小．
（2）已知小丽和小颖分别两次购买一种商品，第一次该商品的价格为a元/千克，第二次该商品的价格为b元/千克（a、b是正数，且a≠b），小丽两次都买了m千克商品，两次的平均价格为M，小颖两次都购买n元价格的商品，两次的平均价格为N，你能求出小丽和小颖两次购买商品的平均价格吗？试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低．

Answer 1

考点：分式的加减法,完全平方公式

专题：应用题

分析：（1）根据题意，利用正方形及长方形的面积公式表示出M与N，利用作差法判断即可得到结果；
（2）根据题意表示出M与N，利用作差法比较即可．

解答：解：（1）根据题意得：M=a²+b²，N=2ab，M-N=a²+b²-2ab=（a-b）²，
又∵a≠b，∴（a-b）²＞0，
∴M＞N；
（2）∵M=

am+bm

2m

=

a+b

2

，N=

2n

n a + n b

=

2ab

a+b

，
则M-N=

a+b

2

-

2ab

a+b

=

(a+b)2-4ab

2(a+b)

=

(a-b)2

2(a+b)

＞0，
∴M＞N．

点评：此题考查了分式的加减法，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．