Question

16．如图①，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）如图②，
i）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，线段BD与线段CF的数量关系是BD=CF；直线BD与直线CF的位置关系是BD⊥CF．
ii）请利用图②证明上述结论．
（2）如图③，当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，延长DB交CF于点H，若AB=$\sqrt{2}$，AD=3时，求线段FC的长．

Answer 1

分析 （1）i）根据题意判断出结论；
ii）先判断出△ABD≌△ACF，得出BD=CF，∠ADB=∠AFC，再利用互余即可得出∠AFC+∠FMN=90°，即可得出结论；
（2）先构造直角三角形，利用勾股定理求出BD，由（1）的结论即可得出CF的值．

解答 解：（1）、i）BD=CF，BD⊥CF，
故答案为：BD=CF，BD⊥CF；
ii）证明：如图2，延长DB交AF于点M，交CF于点N，
在正方形ADEF中，AD=AF，∠FAD=∠CBA=90°，
在△ABD和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AF}\\{∠FAD=CBA=90°}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD=CF，∠ADB=∠AFC，
∵∠ADB+∠AMD=90°，
∴∠ADB+∠AMD=90°，
∴∠AFC+∠AMD=90°，
∵∠AMD=∠FMN，
∴∠AFC+∠FMN=90°，
∴∠FND=90°，
∴BD⊥CF；

（2）
如图3，过点B作BP⊥AD于P，
由旋转知，∠BAD=45°，
在Rt△ABP中，AB=$\sqrt{2}$，
∴AP=BP=1，
∴DP=AD-AP=2，
在Rt△BDP中，根据勾股定理得，BD=$\sqrt{B{P}^{2}+D{P}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
由（1）知，FC=BD=$\sqrt{5}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等角的余角相等，勾股定理，解（1）的根据是判断出△ABD≌△ACF，解（2）的关键是构造直角三角形．