在平面直角坐标系中.O为坐标原点.已知二次函数y=$\frac{1}{2}$x2+bx+c的图象过点A.且点C与点B关于坐标原点对称．(1)求b.c的值.并判断点C是否在此抛物线上.并说明理由,(2)若点P为此抛物线上一点.它关于x轴.y轴的对称点分别为M.N.问是否存在这样的P点使得M.N恰好都在直线BC上?如存在.求出点P的坐标.如不存在.并说明理由,(3)若点P与点Q关于原点对� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知二次函数y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c的图象过点A（0，-2）和点B（2，-2），且点C与点B关于坐标原点对称．
（1）求b，c的值，并判断点C是否在此抛物线上，并说明理由；
（2）若点P为此抛物线上一点，它关于x轴，y轴的对称点分别为M，N，问是否存在这样的P点使得M，N恰好都在直线BC上？如存在，求出点P的坐标，如不存在，并说明理由；
（3）若点P与点Q关于原点对称，当点P在位于直线BC下方的抛物线上运动时，求四边形PBQC的面积的最大值．

分析（1）将A（0，-2）、B（2，-2）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c，得到关于b，c的二元一次方程组，解方程组求出b，c的值；根据关于原点对称的点的坐标特征求出C点坐标，再用代入法即可判断C点在此抛物线上；
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-x．再假设此抛物线上存在这样的点P（x，$\frac{1}{2}$x²-x-2），使得它关于x轴，y轴的对称点M，N恰好都在直线BC上，根据函数图象上点的坐标特征得出方程$\frac{1}{2}$x²-x-2=x，解方程即可求出点P的坐标；
（3）先判定四边形PBQC是平行四边形，根据平行四边形的性质得出当△PBC面积最大时，四边形PBQC的面积最大．将直线BC向下平移t个单位得到直线y=-x-t，当它与抛物线只有一个交点时，△PBC面积最大．利用判别式△=0求出t的值，进而求解即可．

解答解：（1）∵二次函数y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c的图象过点A（0，-2）和点B（2，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-2}\\{2+2b+c=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{2}$x²-x-2．
∵点C与点B关于坐标原点对称，
∴C（-2，2），
把x=-2代入y=$\frac{1}{2}$x²-x-2，得y=$\frac{1}{2}$×（-2）²-（-2）-2=2，
∴C（-2，2）在此抛物线上；

（2）设直线BC的解析式为y=mx+n，
∵B（2，-2），C（-2，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=-2}\\{-2m+n=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=0}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-x．
假设此抛物线上存在这样的点P（x，$\frac{1}{2}$x²-x-2），使得它关于x轴，y轴的对称点M，N恰好都在直线BC上，
∵M（x，-$\frac{1}{2}$x²+x+2），N（-x，$\frac{1}{2}$x²-x-2），
∴$\frac{1}{2}$x²-x-2=x，
解得x=2±2$\sqrt{2}$，
故所求点P的坐标为（2+2$\sqrt{2}$，2+2$\sqrt{2}$），或（2-2$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$）；

（3）∵点C与点B关于原点对称，点P与点Q关于原点对称，
∴四边形PBQC是平行四边形，
∴S_?PBQC=2S_△PBC，
∴当△PBC面积最大时，四边形PBQC的面积最大．
将直线BC向下平移t个单位得到直线y=-x-t，当它与抛物线只有一个交点时，△PBC面积最大．
把y=-x-t代入y=$\frac{1}{2}$x²-x-2，得-x-t=$\frac{1}{2}$x²-x-2，
整理得，$\frac{1}{2}$x²-2+t=0，
△=0-4×$\frac{1}{2}$（-2+t）=0，
解得t=2，
解方程$\frac{1}{2}$x²-2+2=0，解得x=0，
则y=-2，即P（0，-2），
此时四边形PBQC的面积的最大值为：2×4=8．