Question

18．阅读理解：实数a＞0，b＞0，∵（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}}$）²≥0，∴a-2$\sqrt{ab}$+b≥0，即a+b≥2$\sqrt{ab}$．若ab=m（m为定值），则a+b≥2$\sqrt{m}$，当且仅当a=b时等式成立，即a=b时，a+b=2$\sqrt{m}$，∴当a=b=$\sqrt{m}$时，a+b取得最小值（填“最大”或“最小”）．
理解应用：函数y=x+$\frac{2}{x}$（x＞0），当x=$\sqrt{2}$时，y_最小值=2$\sqrt{2}$．
拓展应用：如图，双曲线y=$\frac{4}{x}$经过矩形OABC的对角线交点P，求矩形OABC的最小周长．

Answer 1

分析 （1）根据a+b≥2$\sqrt{m}$，当且仅当a=b时等式成立，即a=b时，a+b=2$\sqrt{m}$，进行判断即可；
（2）根据y=x+$\frac{2}{x}$（x＞0），当x=$\frac{2}{x}$时，y有最小值，进行计算即可；
（3）先过P作PD⊥OA，设$P（x，\frac{4}{x}）$，则$OD=x，PD=\frac{4}{x}$，根据${C_{矩形OABC}}=2（OA+AB）=4（x+\frac{4}{x}）$，即可得到矩形OABC的最小周长．

解答 解：（1）∵a+b≥2$\sqrt{m}$，
∴当a=b=$\sqrt{m}$时，a+b取得最小值，
故答案为：最小；

（2）∵y=x+$\frac{2}{x}$（x＞0），
∴当x=$\frac{2}{x}$时，y有最小值，
即x=$\sqrt{2}$时，y_最小值=$\sqrt{2}$+$\frac{2}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}，2\sqrt{2}$；

（3）如图所示，过P作PD⊥OA，
设$P（x，\frac{4}{x}）$，则$OD=x，PD=\frac{4}{x}$，
∵四边形ABCO是矩形，
∴$OA=2x，AB=\frac{8}{x}$，
∴${C_{矩形OABC}}=2（OA+AB）=4（x+\frac{4}{x}）$，
∵x＞0且x•$\frac{4}{x}$=4为定值，
∴当x=$\frac{4}{x}$时，即x=2时，x+$\frac{4}{x}$有最小值4，
∴矩形OABC的最小周长为16．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解决问题的关键是掌握完全平方公式的结构特征以及非负数的性质．