Question

已知△ABC中，∠ABC+∠ACB=2∠A，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F点，D是BC中点，判断△DEF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

考点：直角三角形斜边上的中线,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：根据三角形的内角和定理求出∠A，再求出∠ABC+∠ACB，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD=FD=CD=DE，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BDF+∠CDE，然后根据平角的定义求出∠EDF，再根据等边三角形的判定方法解答．

解答： 解：△DEF是等边三角形．
证明如下：∵∠ABC+∠ACB=2∠A，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BE⊥AC，CF⊥AB，D是BC中点，
∴BD=FD=CD=DE=

1

2

BC，
∴∠BDF+∠CDE=（180°-2∠ABC）+（180°-2∠ACB）=360°-2（∠ABC+∠ACB）=360°-2×120°=120°，
∴∠EDF=180°-120°=60°，
又∵DE=DF，
∴△DEF是等边三角形．

点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，熟记各性质是解题的关键，要注意整体思想的利用．