Question

3．如图，已知BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于点P，交劣弧AB于点D．
（1）请写出三个不同的正确结论；
（2）若AB=8，DP=2，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）先根据垂径定理有PA=PB，又BC是直径，那么∠CAB=90°，而∠OPB=90°，那么∠CAB=∠OPB，利用同位角相等两直线平行可知OD∥AC．
（2）根据AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥AB于P，得出PA=BP，设半径为R，则BP=4，OP=R-2，得到R²=（R-2）²+4²，再解方程即可．

解答 解：（1）结论：PA=PB，∠CAB=90°，AC∥OD．
证明：∵OD⊥AB，OD是半径，
∴PA=PB，
∵BC是直径，
∴∠CAB=90°，
又∵OD⊥AB，
∴∠CAB=90°，
∴∠CAB=∠OPB，
∴OD∥AC．
（2）∵BC是⊙O的直径，AB是弦，OD⊥AB于点P，
∴OD垂直平分AB，
∵AB=8，DP=2
设半径为R，则PB=4，OP=R-2，
∴R²=（R-2）²+4²
∴R=5．
∴⊙O的半径是5．

点评 本题考查了垂径定理、直径所对的圆周角等于90°、平行线的判定、勾股定理，解题的关键是正确地构造直角三角形．