Question

15．已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．
（1）特殊情形：如图1，当DE∥BC时，有DB=EC．（填“＞”，“＜”或“=”）
（2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，若将△BPC绕点C顺时针方向旋转90度，P点的对应点为M，若∠PMA=90°，问B、P、M是否共线，为什么？

Answer 1

分析 （1）由平行线的性质和等腰三角形的性质得出∠ADE=∠AED，得出AD=AE，即可得出结论；
（2）由旋转的性质得出AD=AE，∠DAE=∠BAC，得出∠BAD=∠CAE，由SAS证明△ABD≌△ACE，得出对应边相等即可DB=EC；
（3）由旋转的性质得出△BPC≌△AMC，∠PCM=90°，得出PC=MC，∠BPC=∠AMC，证出△PCM是等腰直角三角形，得出∠MPC=∠PMC=45°，∠BPC=135°，证出∠BPC+∠MPC=180°即可．

解答 解：（1）∵DE∥BC，AB=AC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠B=∠C，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∴DB=EC；
故答案为：=；
（2）（1）中的结论还成立；理由如下：
由旋转的性质得：AD=AE，∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}&{\;}\\{∠BAD=∠CAE}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴DB=EC；
（3）B、P、M三点共线；理由如下：
由旋转的性质得：△BPC≌△AMC，∠PCM=90°，
∴PC=MC，∠BPC=∠AMC，
∴△PCM是等腰直角三角形，
∴∠MPC=∠PMC=45°，
∵∠PMA=90°，
∴∠AMC=90°+45°=135°，
∴∠BPC=135°，
∴∠BPC+∠MPC=135°+45°=180°，
∴B、P、M三点共线．

点评 本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三点共线等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握旋转的性质和等腰直角三角形的性质是解决问题的关键．