Question

8．观察下列等式：
第一个等式：${a}_{1}=\frac{2}{1+3×2+2×{2}^{2}}=\frac{1}{2+1}-\frac{1}{{2}^{2}+1}$
第二个等式：${a}_{2}=\frac{{2}^{2}}{1+3×{2}^{2}+2×（{2}^{2}）^{2}}=\frac{1}{{2}^{2}+1}-\frac{1}{{2}^{3}+1}$
第三个等式：${a}_{3}=\frac{{2}^{3}}{1+3×{2}^{3}+2×（{2}^{3}）^{2}}=\frac{1}{{2}^{3}+1}-\frac{1}{{2}^{4}+1}$
第四个等式：${a}_{4}=\frac{{2}^{4}}{1+3×{2}^{4}+2×（{2}^{4}）^{2}}=\frac{1}{{2}^{4}+1}-\frac{1}{{2}^{5}+1}$
按上述规律，回答下列问题：
（1）请写出第六个等式：a₆=$\frac{{2}^{6}}{1+3×{2}^{6}+2×（{2}^{6}）^{2}}$=$\frac{1}{{2}^{6}+1}$-$\frac{1}{{2}^{7}+1}$；
（2）用含n的代数式表示第n个等式：a_n=$\frac{{2}^{n}}{1+3×{2}^{n}+2×（{2}^{n}）^{2}}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$；
（3）a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=$\frac{14}{43}$（得出最简结果）；
（4）计算：a₁+a₂+…+a_n．

Answer 1

分析 （1）根据已知4个等式可得；
（2）根据已知等式得出答案；
（3）利用所得等式的规律列出算式，然后两两相消，计算化简后的算式即可得；
（4）根据已知等式规律，列项相消求解可得．

解答 解：（1）由题意知，a₆=$\frac{{2}^{6}}{1+3×{2}^{6}+2×（{2}^{6}）^{2}}$=$\frac{1}{{2}^{6}+1}$-$\frac{1}{{2}^{7}+1}$，
故答案为：$\frac{{2}^{6}}{1+3×{2}^{6}+2×（{2}^{6}）^{2}}$，$\frac{1}{{2}^{6}+1}$-$\frac{1}{{2}^{7}+1}$；

（2）a_n=$\frac{{2}^{n}}{1+3×{2}^{n}+2×（{2}^{n}）^{2}}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$，
故答案为：$\frac{{2}^{n}}{1+3×{2}^{n}+2×（{2}^{n}）^{2}}$，$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$；

（3）原式=$\frac{1}{2+1}$-$\frac{1}{{2}^{2}+1}$+$\frac{1}{{2}^{2}+1}$-$\frac{1}{{2}^{3}+1}$+$\frac{1}{{2}^{3}+1}$-$\frac{1}{{2}^{4}+1}$+$\frac{1}{{2}^{4}+1}$-$\frac{1}{{2}^{5}+1}$+$\frac{1}{{2}^{5}+1}$-$\frac{1}{{2}^{6}+1}$+$\frac{1}{{2}^{6}+1}$-$\frac{1}{{2}^{7}+1}$
=$\frac{1}{2+1}$-$\frac{1}{{2}^{7}+1}$
=$\frac{14}{43}$，
故答案为：$\frac{14}{43}$；

（4）原式=$\frac{1}{2+1}$-$\frac{1}{{2}^{2}+1}$+$\frac{1}{{2}^{2}+1}$-$\frac{1}{{2}^{3}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$
=$\frac{1}{2+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$
=$\frac{{2}^{n+1}-2}{3（{2}^{n+1}+1）}$．

点评 本题主要考查数字的变化，解题的关键是根据已知等式得出等式的变化规律及列项相消法求解．