Question

2．抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求直线BC的解析式；
（2）抛物线的对称轴上存在点P，使∠APB=∠ABC，利用图1求点P的坐标；
（3）点Q在y轴右侧的抛物线上，利用图2比较∠OCQ与∠OCA的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由抛物线解析式可求得B、C的坐标，利用待定系数法可求得直线BC的解析式；
（2）由直线BC解析式可知∠APB=∠ABC=45°，设抛物线对称轴交直线BC于点D，交x轴于点E，结合二次函数的对称性可求得PD=BD，在Rt△BDE中可求得BD，则可求得PE的长，可求得P点坐标；
（3）设Q（x，-x²+2x+3），当∠OCQ=∠OCA时，利用两角的正切值相等可得到关于x的方程，可求得Q点的横坐标，再结合图形可比较两角的大小．

解答 解：
（1）在y=-x²+2x+3中，令y=0可得0=-x²+2x+3，解得x=-1或x=3，令x=0可得y=3，
∴B（3，0），C（0，3），
∴可设直线BC的解析式为y=kx+3，
把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=-1，
∴直线BC解析式为y=-x+3；
（2）∵OB=OC，
∴∠ABC=45°，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴抛物线对称轴为x=1，
设抛物线对称轴交直线BC于点D，交x轴于点E，当点P在x轴上方时，如图1，

∵∠APB=∠ABC=45°，且PA=PB，
∴∠PBA=$\frac{180°-45°}{2}$=67.5°，∠DPB=$\frac{1}{2}$∠APB=22.5°，
∴∠PBD=67.5°-45°=22.5°，
∴∠DPB=∠DBP，
∴DP=DB，
在Rt△BDE中，BE=DE=2，由勾股定理可求得BD=2$\sqrt{2}$，
∴PE=2+2$\sqrt{2}$，
∴P（1，2+2$\sqrt{2}$）；
当点P在x轴下方时，由对称性可知P点坐标为（1，-2-2$\sqrt{2}$）；
综上可知P点坐标为（1，2+2$\sqrt{2}$）或（1，-2-2$\sqrt{2}$）；
（3）设Q（x，-x²+2x+3），当点Q在x轴下方时，如图2，过Q作QF⊥y轴于点F，

当∠OCA=∠OCQ时，则△QEC∽△AOC，
∴$\frac{QE}{CE}$=$\frac{AO}{CO}$=$\frac{1}{3}$，即$\frac{x}{{x}^{2}-2x-3}$=$\frac{1}{3}$，解得x=0（舍去）或x=5，
∴当Q点横坐标为5时，∠OCA=∠OCQ；
当Q点横坐标大于5时，则∠OCQ逐渐变小，故∠OCA＞∠OCQ；
当Q点横坐标小于5且大于0时，则∠OCQ逐渐变大，故∠OCA＜∠OCQ．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、方程思想和分类讨论思想等知识．在（1）中求得B、C坐标是解题的关键，在（2）中构造等腰三角形求得P到x轴的距离是解题的关键，在（3）中确定出两角相等时Q点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．