Question

3．已知直线l：y=ax-a+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，O点为坐标原点，△ABO外接圆的圆心为点C．设经过C点的反比例函数解析式为y=$\frac{k}{x}$，当点O到直线l距离最大时，k=$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 令x=0，则y=2-a，令y=0则x=$\frac{a-2}{a}$，得到A（$\frac{a-2}{a}$，0），B（0，2-a），由△ABO外接圆的圆心为点C得到点C是AB的中点，求得C（$\frac{a-2}{2a}$，$\frac{2-a}{2}$），当点O到直线l距离最大时，△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到AO=BO，于是得到结论．

解答 解：∵直线l：y=ax-a+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令x=0，则y=2-a，令y=0则x=$\frac{a-2}{a}$，
∴A（$\frac{a-2}{a}$，0），B（0，2-a），
∵O点为坐标原点，
∴∠AOB=90°，
∵△ABO外接圆的圆心为点C，
∴点C是AB的中点，
∴C（$\frac{a-2}{2a}$，$\frac{2-a}{2}$），
当点O到直线l距离最大时，△ABC是等腰直角三角形，
∴AO=BO，
∴$\frac{a-2}{a}$=2-a，
解得：a=2或a=-1，
当a=-1时，C（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴k=$\frac{9}{4}$，
当a=2时，C（0，0）（不合题意，舍去）
∴k=$\frac{9}{4}$．
故答案为：$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰直角三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．