Question

2．已知方程x²+3mx+2m-3=0．
（1）求证：对于任意的实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设a，b是平行四边形的两邻边边长，也是方程的两根，且a＞b，求a-b的最小值．

Answer 1

分析 （1）先计算△=（3m）²-4（2m-3）=9m²-8m+12，配方得到△=9（m-$\frac{4}{9}$）²+$\frac{92}{9}$＞0，根据△的意义即可得到对于任何实数m，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系可得：a+b=-3m，ab=2m-3．由a＞b得出a-b=$\sqrt{（a+b）^{2}-4ab}$=$\sqrt{（-3m）^{2}-4（2m-3）}$=$\sqrt{9（m-\frac{4}{9}）^{2}+\frac{92}{9}}$，利用二次函数的性质即可求解．

解答 （1）证明：方程的判别式△=（3m）²-4（2m-3）=9m²-8m+12=9（m-$\frac{4}{9}$）²+$\frac{92}{9}$＞0，
即对于任意的实数m，方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：由根与系数的关系可得：a+b=-3m，ab=2m-3．
∵a＞b，
∴a-b=$\sqrt{（a+b）^{2}-4ab}$=$\sqrt{（-3m）^{2}-4（2m-3）}$=$\sqrt{9{m}^{2}-8m+12}$=$\sqrt{9（m-\frac{4}{9}）^{2}+\frac{92}{9}}$，
∴当m=$\frac{4}{9}$时，a-b的最小值是$\frac{2\sqrt{23}}{3}$．

点评 本题考查了根的判别式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
也考查了根与系数的关系．