Question

1．已知：点A（0，a）在y轴正半轴上，且满足$\sqrt{a-3}$+3$\sqrt{3-a}$=b+5，B为x轴上一动点，以AB为边作等腰Rt△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，过点C作CE⊥x轴于E，当点B运动时，D为BC的中点，连接DO并延长交CE延长线于点F，求证：$\frac{BO}{CF}$为定值．

Answer 1

分析 如图，连接AD交OB于K，连接AF，由△AKO∽△BKD，推出$\frac{AK}{BK}$=$\frac{OK}{KD}$，推出$\frac{AK}{OK}$=$\frac{BK}{KD}$，推出△AKB≌△OKD，推出∠BAK=∠KOD=∠FOE=45°，∠ABK=∠KDO，同法由△AGD∽△FGC，推出△AGF∽△DGC，推出∠AFC=90°，再证明△ABO≌△ACF即可解决问题．

解答 证明：如图，连接AD交OB于K，连接AF．
∵∠BAC=90°，AB=AC，BD=DC，
∴AD=DB=DC，
∴∠ACD=∠BAD=∠DAC=45°，
∵∠AKO=∠BKD，∠AOK=∠BDK，
∴△AKO∽△BKD，
∴$\frac{AK}{BK}$=$\frac{OK}{KD}$，
∴$\frac{AK}{OK}$=$\frac{BK}{KD}$，∵∠AKB=∠DKO，
∴△AKB≌△OKD，
∴∠BAK=∠KOD=∠FOE=45°，∠ABK=∠KDO，
∵∠CF⊥x轴，
∴∠OFE=45°，
∵∠GAD=∠GFC，∠AGD=∠CGF，
∴△AGD∽△FGC，
∴$\frac{AG}{GF}$=$\frac{DG}{GC}$，∠ADG=∠GCF，
∴$\frac{AG}{DG}$=$\frac{FG}{GC}$，∵∠AGF=∠DGC，
∴△AGF∽△DGC，
∴∠AFG=∠GCD=45°，
∴∠AFC=90°，
∵∠ABO=∠ACF，∠AOB=∠AFC，AB=AC，
∴△ABO≌△ACF，
∴OB=CF，
∴$\frac{OB}{CF}$=1=定值．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．