题目内容

如图，抛物线y=-
1
2
x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
考点：二次函数综合题
专题：代数几何综合题,压轴题
分析：（1）由待定系数法建立二元一次方程组求出求出m、n的值即可；
（2）由（1）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD的值，再以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1，以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3，作CE垂直于对称轴与点E，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；
（3）先求出BC的解析式，设出E点的坐标为（a，-
1
2
a+2），就可以表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．
解答：解：（1）∵抛物线y=-
1
2
x2+mx+n经过A（-1，0），C（0，2）．
解得：
m=
3
2
n=2
，
∴抛物线的解析式为：y=-
1
2
x2+
3
2
x+2；

（2）∵y=-
1
2
x2+
3
2
x+2，
∴y=-
1
2
（x-
3
2
）2+
25
8
，
∴抛物线的对称轴是x=
3
2
．
∴OD=
3
2
．
∵C（0，2），
∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
CD=
5
2
．
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP1=DP2=DP3=CD．
作CM⊥x对称轴于M，
∴MP1=MD=2，
∴DP1=4．
∴P1（
3
2
，4），P2（
3
2
，
5
2
），P3（
3
2
，-
5
2
）；

（3）当y=0时，0=-
1
2
x2+
3
2
x+2
∴x1=-1，x2=4，
∴B（4，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得
2=b
0=4k+b
，
解得：
k=-
1
2
b=2
，
∴直线BC的解析式为：y=-
1
2
x+2．
如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，-
1
2
a+2），F（a，-
1
2
a2+
3
2
a+2），
∴EF=-
1
2
a2+
3
2
a+2-（-
1
2
a+2）=-
1
2
a2+2a（0≤a≤4）．
∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=
1
2
BD•OC+
1
2
EF•CM+
1
2
EF•BN，
=
1
2
×
5
2
×2+
1
2
a（-
1
2
a2+2a）+
1
2
（4-a）（-
1
2
a2+2a），
=-a2+4a+
5
2
（0≤a≤4）．
=-（a-2）2+
13
2

∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=
13
2
，
∴E（2，1）．
点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
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；
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AE
EC
=
1
2
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BD
DC
=
1
3
．
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．
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1
x-10
有意义，则x的取值范围是
 
．

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