Question

王琳猜想：若一元二次方程x²+bx+c=0的两个根都是整数，则代数式b²-4c的值一定是完全平方数．
（1）王琳猜想是

 

（真或假）命题；
（2）写出王琳猜想的逆命题

 

；
（3）王琳猜想的逆命题是真命题还是假命题？若是真命题，请进行证明；若是假命题，请举反例说明．

Answer 1

考点：根的判别式,命题与定理

专题：计算题

分析：（1）根据一元二次方程的求根公式得到一元二次方程x²+bx+c=0的两个根都是整数，则代数式b²-4c的值一定是完全平方数；
（2）交换原命题的题设与结论即可得到逆命题；
（3）利用反例说明逆命题为假命题．

解答：解：（1）∵x=

-b± b2-4c

2

，
∴一元二次方程x²+bx+c=0的两个根都是整数，则代数式b²-4c的值一定是完全平方数；
（2）若一元二次方程x²+bx+c=0的两个根都是整数，则代数式b²-4c的值一定是完全平方数的逆命题为：代数式b²-4c的值是完全平方数，则一元二次方程x²+bx+c=0的两个根都是整数；
故答案为真；代数式b²-4c的值是完全平方数，则一元二次方程x²+bx+c=0的两个根都是整数；
（3）王琳猜想的逆命题是假命题．例如：当b=2

2

，c=2，则b²-4c=8-8=0，b²-4c的值是完全平方数，但方程的两根为-

2

，不是整数，所以代数式b²-4c的值是完全平方数，则一元二次方程x²+bx+c=0的两个根都是整数是假命题．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了命题与定理．