题目内容

5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转角度α得到四边形OA′B′C′，此时边OA′与边BC交于点P，边B′C′与BC的延长线交于点Q，连接AP．
（1）四边形OABC的形状是矩形．
（2）在旋转过程中，当∠PAO=∠POA，求P点坐标．
（3）在旋转过程中，当P为线段BQ中点时，连接OQ，求△OPQ的面积．

分析 （1）利用A，B，C点坐标得出∠COA=∠OAB=∠B=90°，进而得出答案；
（2）利用∠PAO=∠POA得出PA=PO，进而得出AE=EO=4，即可得出P点坐标；
（3）首先得出Rt△OCQ≌Rt△OC'Q（HL），进而利用平行线的性质求出∠POQ=∠PQO，即可得出BP=PO，再利用勾股定理得出PQ的长，进而求出△OPQ的面积．

解答 解：（1）∵点A的坐标为（-8，0），点B（-8，6），C（0，6），
∴∠COA=∠OAB=∠B=90°，
∴四边形OABC是矩形．
故答案为：矩形；

（2）如图1，过点P作PE⊥AO于点E，
∵∠PAO=∠POA，
∴PA=PO，
∵PE⊥AO，
∴AE=EO=4，
∴P（-4，6）；

（3）如图2，在Rt△OCQ和Rt△OC'Q中，
$\left\{\begin{array}{l}{CO=CO}\\{OQ=OQ}\end{array}\right.$，
∴Rt△OCQ≌Rt△OC'Q（HL），
∴∠OQC=∠OQC'，
又∵OP∥C'Q，
∵∠POQ=∠OQC'，
∴∠POQ=∠PQO，
∴PO=PQ，
∵BP=QP，
∴BP=OP=x，
在Rt△OPC中，x2=（8-x）2+62，
解得：x=$\frac{25}{4}$．
故S△OPQ=$\frac{1}{2}$×CO×PQ=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{25}{4}$=$\frac{75}{4}$．

点评 此题主要考查了矩形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积求法等知识，正确得出PO=PQ是解题关键．

练习册系列答案
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