Question

5．如图，在平面直角坐标系中，若四边形OABC的顶点分别为O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）．当m的取值范围是1≤m≤9时，在边BC上总存在点P，使∠OPA=90°．

Answer 1

分析 由四边形四个点的坐标易得OA=BC=5，BC∥OA，以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，根据圆周角定理得∠OEA=∠OFA=90°，如图1，作DG⊥EF于G，连DE，则DE=OD=2.5，DG=2，根据垂径定理得EG=GF，接着利用勾股定理可计算出EG=1.5，于是得到E（1，2），F（4，2），即点P在E点和F点时，满足条件，此时，当$\left\{\begin{array}{l}{m-5≤4}\\{m≥1}\end{array}\right.$，即1≤m≤9时，边BC上总存在这样的点P，使∠OPA=90°．

解答 解：∵O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）．
∴OA=BC=5，BC∥OA，
以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA=∠OFA=90°，
如图，作DG⊥EF于G，连DE，则DE=OD=2.5，DG=2，EG=GF，
∴EG=$\sqrt{D{E}^{2}-D{G}^{2}}$=1.5，
∴E（1，2），F（4，2），
∴当$\left\{\begin{array}{l}{m-5≤4}\\{m≥1}\end{array}\right.$，即1≤m≤9时，边BC上总存在这样的点P，使∠OPA=90°．
故答案为：1≤m≤9．

点评 本题考查了坐标与图形的性质：熟练掌握勾股定理、圆周角定理和平行四边形的判定与性质是解题的关键．