Question

已知，AB是⊙O的直径，AD、BC是⊙O的切线，AB=4，AD=3，BC=6．
（1）求CD的长；
（2）点C、D分别沿射线CB、DA方向同时以每秒1个单位长度的速度运动，运动多长时间线段CD恰好与⊙O相切？
（3）点P为⊙O上任一点，求△PCD面积的最大值．

Answer 1

考点：切线的判定,切线的性质

专题：计算题

分析：（1）作DE⊥BC于E，如图1，根据切线的性质得AB⊥AD，AB⊥BC，则肯定判断四边形ABED为矩形，所以DE=AB=4，BE=AD=3，CE=BC-BE=3，然后在Rt△CDE中利用勾股定理计算出CD=5；
（2）设两点运动的时间为t，分类讨论：如图2，当点C、点D分别运动到N、M的位置与⊙O相切于Q，则MD=CN=t，易得四边形CNMD为平行四边形，则MN=CD=5，作MH⊥BC于H，则MH=AB=4，在Rt△MNH中计算出NH=3，设AM=x，利用切线长定理得MA=MQ=x，NQ=NB=NH+BH，加上AM=BH=x，则x+3+x=5，解得x=1，所以AM=1，MD=AD-AM=2，于是得到此时两点运动的时间为2s；当点C、点D分别运动到F、E的位置与⊙O相切于P，同理可得BF=1，CF=BC+BF=7，得到此时两点运动的时间为7s；
（3）点P为EF与⊙O的切点时，由于点P到CD的距离最大，所以此时△PCD面积的最大值，然后利用S_△PDC=

1

2

S_{平行四边形CDEF}进行计算，

解答：解：（1）作DE⊥BC于E，如图1，
∵AB是⊙O的直径，AD、BC是⊙O的切线，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴四边形ABED为矩形，
∴DE=AB=4，BE=AD=3，
∴CE=BC-BE=6-3=3，
在Rt△CDE中，∵CE=3，DE=4，
∴CD=

CE2+DE2

=5；
（2）设两点运动的时间为t，
如图2当点C、点D分别运动到N、M的位置与⊙O相切于Q，则MD=CN=t
∵DM∥CN，
∴四边形CNMD为平行四边形，
∴MN=CD=5，
作MH⊥BC于H，则MH=AB=4，
在Rt△MNH中，∵MN=5，MH=4，
∴NH=

MN2-MH2

=3，
设AM=x
∵MA=MQ=x，NQ=NB=NH+BH，
而AM=BH=x，
∴x+3+x=5，解得x=1，
∴AM=1，
∴MD=AD-AM=2，
∴此时两点运动的时间为2s；
当点C、点D分别运动到F、E的位置与⊙O相切于P，同理可得BF=1，
∴CF=BC+BF=7，
∴此时两点运动的时间为7s；
综上所述，运动2s或7s时间线段CD恰好与⊙O相切；
（3）点P为EF与⊙O的切点时，△PCD面积的最大值，
此时S_△PDC=

1

2

S_{平行四边形CDEF}=

1

2

•4•7=14，
即△PCD面积的最大值为14．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了切线的性质和切线长定理．