Question

如图，△ACB是等腰直角三角形，AC=BC，做射线CP，使∠ACP=20°，点A关于CP的对称点是D，连接AD交CP于点F，连接BD交CP于点E．
（1）求∠CBD的度数；
（2）用等式表示线段DE、EB、AB之间的数量关系，并证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）连接DC，证明△DCF与△ACF全等，可得DC=AC，再得出DC=BC，△DCB是等腰三角形，得出∠CBD的度数即可；
（2）连接AE，根据线段垂直平分线，得出DE=AE，根据三角形内角和得出∠AEB=90°，再根据勾股定理得出AE、EB、AB的关系，可得DE、EB、AB的关系即可．

解答： 解：（1）连接DC，
∵点A关于CP的对称点是D，
∴CP⊥AD，DF=AF，
∴CD=CA，∠DCP=∠PCA=20°
∵△ACB是等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ACB=90°，
∴DC=BC
∴∠CBD=∠CDB=

1

2

×(180°-20°-20°-90°)=25°；
（2）DE²+EB²=AB²，证明如下：
连接AE，
∵在△CDE与△CAE中，

CD=CA ∠DCE=∠ACE CE=CE

∴△CDE≌△CAE（SAS），
∴∠EAC=∠CDB=25°，
∴∠AEB=180°-25°-45°-（45°-25°）=90°，
∴△AEB是Rt△，
∴AE²+EB²=AB²，
∵CP⊥AD，DF=AF，
∴DE=AE，
∴DE²+EB²=AB²．

点评：此题考查全等三角形的判定和性质问题，注意勾股定理的应用，此题难度较大．