Question

9．如图，直线AG∥BK，AE、BE分别平分∠GAB、∠KBA，过点E的直线分别交直线AG、BK于C、D点．
（1）求证：BE⊥AE；
（2）请猜想：AB、AC、BD的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质和平行线的性质，可以得到∠BAE和∠ABE之间的关系，从而得到∠AEB的度数，从而可以证得结论；
（2）作辅助线在AB上截取AF=AC，画出相应的图形，然后根据题目中的信息，可以得到△EFB和△EDB的关系，从而可以得到BF和BD的关系，进而得到AB与AC、BD的关系．

解答 （1）证明：∵AG∥BK，
∴∠CAB+∠ABD=180°，
∵AE、BE分别平分∠GAB、∠KBA，
∴∠CAE=∠EAB=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠ABE=∠EBD=$\frac{1}{2}$∠ABD，
∴∠EAB+∠ABE=90°，
∴∠AEB=90°，
即BE⊥AE；
（2）AB、AC、BD的数量关系是：AB=AC+BD；理由：
证明：在AB上截取AF=AC，如下如所示：

∵AE、BE分别平分∠GAB、∠KBA，
∴∠CAE=∠EAB=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠ABE=∠EBD=$\frac{1}{2}$∠ABD，
在△CAE和△FAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{∠CAE=∠FAE}\\{AC=AF}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△FAE（SAS）
∴∠CEA=∠FEA，
∵∠CEA+∠FEA+∠FEB+∠DFB=360°，BE⊥AE，
∴∠AEF+∠FEB=90°，∠CEA+∠DEB=90°，
∴∠FEB=∠DEB，
在△EFB和△EDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBE=∠DBE}\\{BE=BE}\\{∠FEB=∠DEB}\end{array}\right.$，
∴△EFB≌△EDB（ASA），
∴BF=BD，
∵AC=AF，AB=AF+BF，
∴AB=AC+BD，
即AB、AC、BD的数量关系是：AB=AC+BD．

点评 本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、角平分线的性质，解题的关键是明确题意找出所求问题需要的条件．